例2已知a,o2,a3线性无关证明： 1+a2,32+2a3,a1-2a2+C3 线性无关。 证明设有数k1,k2,k3使 (a1+a2)+k2(3a2+23)+k3(a1-2a2+3)=0 即 (k1+k3)a1+(k1+3k2-2k3)a2+(2k2+k3)a3=0 由c1,a2,a3线性无关得 k1+k3=0 k1+3k2-2k3=0→k1=k2=k3=0 2k2+k3=0 所以线性无关
例2已知1 ，2 ，3 线性无关，证明: , 1 + 2 3 2 , 2 + 3 1 − 22 +3 线性无关。 设有数k1 ,k2 ,k3 使 k1 (1 +2 )+ k2 (32 + 23 )+ k3 (1 − 22 +3 ) = 0 即 (k1 + k3 )1 + (k1 + 3k2 − 2k3 )2 + (2k2 + k3 )3 = 0 证明由1 ，2 ，3 线性无关，得 k1 = k2 = k3 = 0 k1 + k3 = 0 k1 + 3k2 − 2k3 = 0 2k2 + k3 = 0 所以线性无关
例3 已知向量组=(1,1,2,1)T,2=(1,0,0,2) o3=(-1,-4,-8,k)T线性相关求k? 解由已知向量麵成矩阵 11 -1 -4 0 -1 -3 A=(C1,02,03)= 2 0 -8 0 -2 -6 12 0 1 k+1 当k=2时， 0 -3 0 0 k-2 R(A)=2<3, 0 0 向量组c1,a2,a3线性相关
例3 已知向量组 (1,1,2,1) , 1 T = 线性相关，求k ? 由已知向量组构成矩阵 ( , , ) A = 1 2 3 (1,0,0,2) , 2 T = T ( 1, 4, 8,k) 3 = − − − 解 − − − = 1 2 k 2 0 8 1 0 4 1 1 1 + − − − − − 0 1 1 0 2 6 0 1 3 1 1 1 k − − − − 0 0 0 0 0 2 0 1 3 1 1 1 k 当k = 2时， ～ ～ R(A) = 2 3, 向量组1 ,2 ,3 线性相关
例4已知向量组 3 0 0C1= ,02= b03= 2 线性相关求的值。 2 解由于a1, 023 必3线性相关赦行列式 1 3 0 1 0 0 1 t 2 =1 t-32 =-2+3t+10=0 21t 2 -5 -t 解得=5或t=-2
例4 已知向量组 = = = t t 2 0 , 1 3 , 2 1 1 1 2 3 线性相关，求t的值。 解由于1 ，2 ，3 线性相关，故行列式 t t 2 1 1 2 1 3 0 = t t − − − 2 5 1 3 2 1 0 0 3 10 2 = − t + t + = 0 解得t = 5 或t = −2
例5设a41=(1,-2,0,3)7 ①求向量组的秩， 2=(2,-5,-3,6) ②判定它的线性相关忄 ③求它的一个最天无方 a%3=(0,1,3,0)T ④并将其余向量表成茸 x4=(2,-1,4,-7)2 无关组的线性组合： s=(5,-8,1,2)7 解釉向量组构成矩阵 202 5 -2 -51-1 -8 A=(01,02,03,04,x5)= 0 -33 41 3 6 -7 2
例5设 T (1, 2,0,3) 1 = − T (2, 1,4, 7) 4 = − − T (5, 8,1,2) 5 = − 求向量组的秩， 判定它的线性相关性， 求它的一个最大无关组， 无关组的线性组合。 并将其余向量表成最大 由向量组构成矩阵 ( , , , , ) A = 1 2 3 4 5 − − − − − − = 3 6 0 7 2 0 3 3 4 1 2 5 1 1 8 1 2 0 2 5 T (0,1,3,0) 3 = T (2, 5, 3,6) 2 = − − ①②③④ 解