克拉玛依职业技术学院教案 教案序号： 06课型： 理论+习题授课时间：2022-10-8 班级： 测控2141班 教材：《复变函数与积分变换》 网络学习条件：安静的环境，网络通畅学生人数： 29 教学设备安全情况： 教学安全要求： 一、课题： 第二章 解析函数 82-4 初等函数 二、教学目的： 1.理解和掌握三角函数、反三角函数、双曲函数与反双曲函数 2。熟练掌握三角函数、反三角函数、双曲函数与反双曲函数： 三、教学重点和疑、难点： 重点：(1)三角函数(2》反三角函数(3)双曲函数与反双曲函数 难点：(1〉三角函数(2)反三角函数 四.教学过程及教学内容安排 教学内容 时间分配 思想教育与复习 三、新内容 10分 75分 (一）三角函数 5分 (二)反三角函数」 双曲函数与反双曲函数 25分 园}讲习 5分 20分 三、课堂小结 5分 布置作业
克拉玛依职业技术学院教案 教案序号： 06 课型： 理论+习题 授课时间： 2022- 10 -8 班级： 测控 2141 班 教材： 《复变函数与积分变换》 网络学习条件：安静的环境，网络通畅 学生人数：_29_ 教学设备安全情况：_ 教学安全要求：_ _ 一、课题： 第二章 解析函数 §2-4 初等函数 二、教学目的： 1. 理解和掌握三角函数、反三角函数、双曲函数与反双曲函数； 2. 熟练掌握三角函数、反三角函数、双曲函数与反双曲函数； 三、教学重点和疑、难点： 重点：〈1〉三角函数〈2〉反三角函数〈3〉双曲函数与反双曲函数 难点：〈1〉三角函数〈2〉反三角函数 四．教学过程及教学内容安排 教学内 容 时间分配 一、 思想教育与复习 二、新课内容 （一）三角函数 （二）反三角函数 （三）双曲函数与反双曲函数 （四）讲习题 2 10 分 75 分 25 分 25 分 5 分 20 分 三、 课堂小结 布置作业 5 分
容 一、思想教育：历史上的今天 复习： (1)CR条件(2)三种初等函数 二、新课内容 (一)三角函数 函数 形式 奇偶性 解析性 有界性 三角函数 余弦函数 cos:=ef+e- 偶函数 (cos=)'=-sin= 无界 周期2 正弦函数 sin:=ef-e- 奇函数 (sin=)'=cos= 无界 2i 原有的三角函数公式依然成立。 例1：求函数cosz在z=1+i的值。 解，cosl+0=+e- -e-lutel _e(cos1+isin1)+e(cos1-isin 1) 2 (e-+e)cos1+i(e-e)sin1 2 (二)反三角函数 函数 形式 反正弦函数 Arcsin:=-iLn(+) 反余弦函数 Arccos==-iLn(+-1) 反三角函数 反正切函数 Arctan:=-n 1+ 反余切函数 例2：求函数Arcsin:在z=5的值。 解：Aresin5=-Ln5f士-2西)=-L5i士26=-i(5士26+i受+2k) =-lm5±2W6)+无+2kπ(k=0,±1，±2，) 例3：求函数Arctan.:在：=2+3i的值 2 5 2
内 容 一、思想教育：历史上的今天 复习 ： （1）C-R 条件 （2）三种初等函数 二、新课内容 （一）三角函数 三角函数 周期 2 函数 形式 奇偶性 解析性 有界性 余弦函数 cos 2 iz iz e e z − + = 偶函数 (cos ) sin z z = − 无界 正弦函数 sin 2 iz iz e e z i − − = 奇函数 (sin ) cos z z = 无界 原有的三角函数公式依然成立。 例 1:求函数 cosz 在 z i = +1 的值。 解： (1 ) (1 ) cos(1 ) 2 i i i i e e i + − + + + = 1 1 1(cos1 sin1) (cos1 sin1) 2 2 i i e e e i e i − + − − + + + − = = 1 1 ( )cos1 ( )sin1 2 e e i e e − − + + − = （二）反三角函数 反三角函数 函数 形式 反正弦函数 2 Arcsin ( 1 ) z iLn iz z = − + − 反余弦函数 2 Arccos ( 1) z iLn z z = − + − 反正切函数 1 Arctan 2 1 i iz z Ln iz + = − − 反余切函数 Arccot 2 i z i z Ln z i − = + 例 2:求函数 Arcsin z 在 z = 5 的值。 解： Arcsin 5 (5 1 25) (5 2 6) ( (5 2 6) 2 ) 2 iLn i iLn i i i ln i i k = − − = − = − + + = (5 2 6) 2 2 iln k − + + ( 0, 1, 2, ) k = 例 3:求函数 Arctan z 在 z i = +2 3 的值。 解： 1 (2 3 ) 2 2 1 Arctan(2 3 ) 2 1 (2 3 ) 2 4 2 2 2 i i i i i i i i Ln Ln Ln i i i i + + − − + = − = − = − − + − − ( 1 (2 ) ) 3 2 1 (ln arctan 2 ) 2 5 2 5 2 5 3 i i i i i i Ln Ln i i i k − + − = − = − = − + − + 2 1 1 ln arctan 4 5 2 3 2 i k = − − + +
(三)双曲函数与反双曲函数 函效 形式 奇偶性口 解析性 有界性 双曲函数 双曲余弦 偶函数 (ch)'=sh 无界 周期2元 函数 双曲正弦 函数 sh=e'-e 奇函数 (sh)=ch 无界 与三角函数的关系 siniy=ishy shiy=isiny cosiy=chy chiy=cosy 平方公式：cy-shy=1 形式 反双曲函数 Arcsh=Ln(+) 反双曲余弦函数 Arcch=Ln(+-1) 例4：求证=x+y时sin=sin xchy+icosxshy 证明：sinr+-g-eao e-neat 2i _e(cosx+isinx)-e'(cosx-isinx)(e-e")cosx+isinx(e-+e) 2i 2i =sin xchy+icosxshy (四)讲解习题 P13 9.10 P397,9 三、课堂小结：本次课重点在于讲初等函数。 布置作业： 作业：完成《复变函数与积分变换》学生工作任务单(5) 五.课后小结：
（三）双曲函数与反双曲函数 双曲函数 周期 2i 函数 形式 奇偶性 解析性 有界性 双曲余弦 函数 c 2 z z e e hz − + = 偶函数 (c ) s hz hz = 无界 双曲正弦 函数 s 2 z z e e hz − − = 奇函数 (s ) c hz hz = 无界 与三角函数的关系 siniy ishy = cosiy chy = shiy i y = sin chiy y = cos 平方公式： 2 2 ch y sh y − =1 反双曲函数 函数 形式 反双曲正弦函数 2 Arcs ( 1 ) hz Ln z z = + + 反双曲余弦函数 2 Arcc ( 1) hz Ln z z = + − 例 4:求证 z x iy = + 时 sin sin cos z xchy i xshy = + 证明： ( ) ( ) ) ) sin( ) 2 2 i x iy i x iy ix y ix y e e e e x iy i i + − + − − + − − + = = ( ) cos sin ( ) (cos sin ) (cos sin ) 2 2 y y y y y y e x i x e x i x e e x i x e e i i − − − + − − − + + = = = + sin cos xchy i xshy （四）讲解习题 P13 9,10 P39 7,9 三、课堂小结：本次课重点在于讲初等函数。 布置作业： 作业： 完成《复变函数与积分变换》学生工作任务单（5） 五．课后小结：
克拉玛依职业技术学院教案 教案序号：06课型： 理论授课时间：2022 班级：测控2141班教材：《复变函数与积分变换》 网络学习条件：安静的环境，网络通畅学生人数：30 教学设备安全情况： 教学安全要求： 一、课题： 第六章留数 §6-1孤立奇点 二、教学目的： 1.理解和掌握孤立奇点的定义： 2.熟练掌握求函数的孤立奇点，并能分类： 三、教学重点和疑、难点： 重点：(1〉如何求函数的孤立奇点 难点：如何求对孤立奇点分类。 四.教学过程及教学内容安排 教学内容 时间分配 一、思想教育与复习 10分 二、孤立奇点 65分 三、课堂小结 5分 布置作业
克拉玛依职业技术学院教案 教案序号： 06 课型： 理论 授课时间： 2022- 班级： 测控 2141 班 教材： 《复变函数与积分变换》 网络学习条件：安静的环境，网络通畅 学生人数：_30_ 教学设备安全情况：_ 教学安全要求：_ _ 一、课题： 第六章 留数 §6-1 孤立奇点 二、教学目的： 1. 理解和掌握孤立奇点的定义； 2. 熟练掌握求函数的孤立奇点，并能分类； 三、教学重点和疑、难点： 重点：〈1〉如何求函数的孤立奇点 难点：如何求对孤立奇点分类。 四．教学过程及教学内容安排 教学内 容 时间分配 一、 思想教育与复习 二、 孤立奇点 10 分 65 分 三、 课堂小结 布置作业 5 分
内 容 思想教育：柯西-古萨定理的产生 复习：初等函数 二、新课内容 (一)孤立奇点 定义1：设z=20为f2)的一个奇点，且存在一个去心领域0<2-z0<6,f2)在其中处处解折】 则称o为fz)的孤立奇点。 例如：z=0,为1e-sin的孤立奇点，但：z=0,不为 的立商点，因为当n充 1 分大时 是函数的奇点。 (二)孤立奇点的分类 设z0为f(2)的一个孤立奇点在0<z-z0<6中f(2)解析则f(z)可展开成z-z0的洛朗级数 ()-Ea-Ea-+- 按展开式中负幂项部分的状况，把孤立点分成3类： (1)级数中不出现负幂项，Z0的称为f2)的可去奇点： (2)级数中只含有有限个负吊项，z0的称为f2)的极点 (3)级数中只含有无穷多个负幂项，z0的称为f2)的本性奇点： (1)可去奇点 定理1：设f似在0<k-zl<δ中解析则z是f)的可去奇点的充要条件是：imf(e)=a +后 sin:= +←少2 31 (2n-) 例1： 2 (2n-11t. ()极点 定理2：设拟在0<k:2<6中解析侧z是f亿)的m级极点的充要条件是：m/)=+0 例2： ,2n-4 Z=0为f2)的二级极点
内 容 一、思想教育:柯西-古萨定理的产生 复习 ： 初等函数 二、新课内容 （一）孤立奇点 定义 1:设 z=z0 为 f(z)的一个奇点，且存在一个去心领域 0<|z-z0|<δ,f(z)在其中处处解析， 则称 z0 为 f(z)的孤立奇点。 例如：z=0,为 的孤立奇点，但：z=0,不为 的孤立奇点，因为当 n 充 分大时 是函数的奇点。 （二）孤立奇点的分类 设 z0 为 f(z)的一个孤立奇点,在 0<|z-z0|<δ中 f(z)解析则 f(z)可展开成 z-z0 的洛朗级数 按展开式中负幂项部分的状况，把孤立点分成 3 类： (1)级数中不出现负幂项， z0 的称为 f(z)的可去奇点； (2)级数中只含有有限个负幂项， z0 的称为 f(z)的极点； (3)级数中只含有无穷多个负幂项， z0的称为 f(z)的本性奇点； （Ⅰ) 可去奇点 定理 1：设 f(z) 在 0<|z-z0|<δ中解析则 z0是 f(z)的可去奇点的充要条件是： 例 1： （Ⅱ）极点 定理 2：设 f(z) 在 0<|z-z0|<δ中解析则 z0是 f(z)的 m 级极点的充要条件是： 例 2： Z=0 为 f(z)的二级极点。 1 1 sin , , − z e z z z z 1 1 sin z 1 n 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) + − − =− = = = − = − + − n n n n n n n n n f z a z z a z z a z z 0 0 lim ( ) → = z z f z a 2 3 1 . . 2! 3! ! = + + + + + + n z z z z e z n 3 5 2 1 1 sin . ( 1) . 3! 5! (2 1)! − − = − + − + − + − n z z z n z z n 2 1 1 1 . . 2! 3! ! − − = + + + + + z n e z z z z n 0 1 lim 1 → − = z z e z 2 4 2 2 sin 1 1 . ( 1) . 3! 5! (2 1)! − − = − + − + − + − n z z z z n z n 0 sin lim 1 → = z z z 0 lim ( ) → = + z z f z 2 2 4 1 3 2 sin 1 1 . ( 1) . 3! 5! (2 1)! − − = − + − + − + − n z z z n z z n 3 0 sin lim → = + z z z