举例 例2.求解常微分方程 y'-2y'+y=ey(0)=y(0)=0. 解：令Y(s)=cy(t)],方程两边同时取拉氏变换： C[y'(t)]=sY(s)-y(0)=sY(s) Cy'(t)]=s2Y(s)-Sy(0)-y(0)=s2Y(s) 方程变为s2Ys)-2sYs)+Y(9)=司 Y(s)=,原方程的解为vd=e 或Res[Y(s))et,1刂=limlest]"=ztet=y
例2. 求解常微分方程 𝒚 ′′ − 𝟐𝐲 ′ + 𝒚 = 𝒆 𝒕 ,𝒚(𝟎) = 𝒚′(𝟎) = 𝟎. 解: 令𝒀 𝐬 = 𝓛 𝐲 𝒕 ，方程两边同时取拉氏变换: 𝓛 𝐲′′ 𝐭 = 𝒔 𝟐𝒀 𝐬 − 𝒔𝒚 𝟎 − 𝒚 ′ 𝟎 = 𝒔 𝟐𝒀 𝐬 𝓛 𝐲′ 𝐭 = 𝒔𝒀 𝐬 − 𝒚 𝟎 = 𝐬𝒀 𝐬 𝒔 𝟐𝒀 𝐬 − 𝟐 𝐬𝒀 𝐬 + 𝒀 𝐬 = 𝟏 𝒔−𝟏 𝒀 𝐬 = 𝟏 (𝒔−𝟏) 𝟑 , 原方程的解为𝐲 𝒕 = 𝟏 𝟐 𝒕 𝟐𝒆 𝒕 . 或𝑹𝒆𝒔[𝒀 𝐬 𝒆 𝒔𝒕 ，𝟏] = 𝟏 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒔→𝟏 𝒆 𝒔𝒕 ′′ = 𝟏 𝟐 𝒕 𝟐𝒆 𝒕 = 𝒚(𝒕) 举例 方程变为
举例 例3.求解常微分方程 y"-3y"+3y-y=-1. y(0)=2,y"(0)=y(0)=1 解：令Y(s)=C[y(t)方程两边同时取拉氏变换： C[y(t)]=sY(S)-y(0)=sY(s)-2 Cy'(t)]=s2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s2Y(s)-2s-1 cy"(t)]=s3Y(s)-s2y(0)-Sy'(0)-y'(0) =s3Y(s)-2s2-s-1
举例 例3. 求解常微分方程 𝐲 ′′′ − 𝟑𝐲 ′′ + 𝟑𝐲 ′ − 𝒚 = −1. 𝒚(𝟎) = 𝟐,𝐲 ′′ 𝟎 = 𝒚′(𝟎) = 𝟏 解: 𝓛 𝐲′′′ 𝐭 = 𝒔 𝟑𝒀 𝐬 − 𝒔 𝟐𝒚 𝟎 − 𝒔𝒚 ′ 𝟎 − 𝒚 ′′ 𝟎 𝓛 𝐲′′ 𝐭 = 𝒔 𝟐𝒀 𝐬 − 𝒔𝒚 𝟎 − 𝒚 ′ 𝟎 = 𝒔 𝟐𝒀 𝐬 − 𝟐𝒔 − 𝟏 𝓛 𝐲′ 𝐭 = 𝒔𝒀 𝐬 − 𝒚 𝟎 = 𝐬𝐘 𝐬 − 𝟐 令𝒀 𝐬 = 𝓛 𝐲 𝒕 方程两边同时取拉氏变换: = 𝒔 𝟑𝒀 𝐬 − 𝟐𝒔 𝟐 − 𝒔 − 𝟏