使用拉普拉斯变换求解： 设=19)，则c=s1s)+, 对方程两边同取拉普拉斯变换得：L(s1()+)+R1()+:兰=0 整理得：s)=(山，+). 取拉式逆变换得：=些-1，-竖e光.i=+山，=竖-竖e光 GeoGebra软件运算区求解： 方法一：使用solveode(L·y'+R·y+RL-Us=0,(0,-1s), 解得y受-5，-e受 方法：使用invers(gu,+,.s 解得：-2-兰e气，（把s替换成t 案例1.2.5如图1-2-5所示电路中，直流电压源U=10V,直流电流源1s= 2A,电感L=4H电阻R=2n,试求S闭合后电路中的电流i,和i 解：开关断开时，电感L中电流，(0)= -L=-2A. 开关闭合时，根据结点电压法： 20ab=-2-iL+9,Uab=4 4=4华代入上式得，2尝+2+红-5=0 图1-2-5 使用拉普拉斯变换求解： 设[=1s),则c0]=s1(s)+2 对方程两边同取拉普拉斯变换得：2s1(S)+4-+1(s)=0. 整理得：1=作一-4)=号取拉式逆变换得：=3-5e的A i=iL+15=5-5eA 5
- 5 - 使用拉普拉斯变换求解 : 设ℒ[ 𝑖𝐿 ] = 𝐼(𝑠),则 ℒ [ 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡 ] = 𝑠𝐼(𝑠) + 𝐼𝑠 对方程两边同取拉普拉斯变换得: 𝐿(𝑠𝐼(𝑠) + 𝐼𝑠 ) + 𝑅𝐼(𝑠) + 𝑅𝐼𝑠−𝑈𝑠 𝑠 = 0 整理得: 𝐼(𝑠) = −1 𝐿𝑠+𝑅 (𝐿𝐼𝑠 + 𝑅𝐼𝑠−𝑈𝑠 𝑠 ), 取拉式逆变换得: 𝑖𝐿 = 𝑈𝑠 𝑅 − 𝐼𝑠 − 𝑈𝑠 𝑅 𝑒 − 𝑅𝑡 𝐿 . 𝑖 = 𝑖𝐿 + 𝐼𝑠 = 𝑈𝑠 𝑅 − 𝑈𝑠 𝑅 𝑒 − 𝑅𝑡 𝐿 GeoGebra 软件运算区求解： 方法一：使用 solveode(L ∙ 𝑦 ′ + R ∙ y + R𝐼𝑠 − 𝑈𝑠 = 0, (0, −𝐼𝑠))， 解得 y= 𝑈𝑠 𝑅 − 𝐼𝑠 − 𝑈𝑠 𝑅 𝑒 − 𝑅𝑥 𝐿 . 方法二：使用 inverselaplace( −1 (𝐿𝑠+𝑅) ∙ (𝐿𝐼𝑠 + 𝑅𝐼𝑠−𝑈𝑠 𝑠 ), 𝑠), 解得:− (𝑅𝐼𝑠−𝑈𝑠 ) 𝑅 − 𝑈𝑠 𝑅 𝑒 − 𝑅𝑠 𝐿 ,(把 s 替换成 t) 案例 1.2.5 如图 1-2-5 所示电路中，直流电压源𝑈𝑠 = 10𝑉，直流电流源𝐼𝑠 = 2𝐴，电感 L=4H,电阻 R=2Ω，试求 S 闭合后电路中的电流𝑖𝐿和𝑖. 解：开关断开时，电感 L 中电流𝑖𝐿 (0) = −𝐼𝑠 = −2𝐴. 开关闭合时，根据结点电压法： 1 2 𝑈𝑎𝑏 = −2 − 𝑖𝐿 + 10 2 ,𝑈𝑎𝑏 = 𝑢𝐿 𝑢𝐿 = 4 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡 ,代入上式得, 2𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡 + 2 + 𝑖𝐿 − 5 = 0 图 1-2-5 使用拉普拉斯变换求解 : 设ℒ[ 𝑖𝐿 ] = 𝐼(𝑠),则 ℒ [ 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡 ] = 𝑠𝐼(𝑠) + 2 对方程两边同取拉普拉斯变换得:2s𝐼(s) + 4 − 3 𝑠 + 𝐼(s) = 0. 整理得: 𝐼(𝑠) = 1 2𝑠+1 ( 3 𝑠 − 4) = 3 𝑠 − 5 𝑠+ 1 2 , 取拉式逆变换得: 𝑖𝐿 = (3 − 5𝑒 − 1 2 𝑡 )𝐴. 𝑖 = 𝑖𝐿 + 𝐼𝑠 = (5 − 5𝑒 − 1 2 𝑡 )𝐴
§1.3二阶电路的零输入响应 的零输入响应，求u的微分方程。 解：根据k(基尔霍夫电压定律)得： -uc ur uL=o M=,i=-c柴M=票=-c器 代入上式得：Lc袋+RC告+G=0. uc(0)=Uo,in (0)=lo 图1-31RLC串联电路 使用拉普拉斯变换求解： 设uel=Us.则c[=sws)-Uc[=s2Us)-s-6 对方程两边同取拉普拉斯变换得： LC(s2U(s)-sUo-Io)+RC(sU(s)-Uo)+U(s)=0, 整理得：US)=C+Cs+1 LCs2+RCS+1 取拉式逆变换得： =s()+股n严e益 GeoGebra软件运算区求解： 使用iverea(2. 解得cos(C）e0+警sin(Cs)e器 这里在求解时，需考虑： ()R>2上，非震荡放电过程：当。=0这时微分方程的特征方程有两个 不相等的负根，对uc求导，得i=一C些，对i球导，当=0时，可得最大电流m (②)R<2,震荡放电过程，这种情况下，微分方程的特征方程有一对共 轭复根 6
- 6 - §1.3 二阶电路的零输入响应 案例 1.3.1 如图 1-3-1 RLC 串联电路，假设电容已充电所示电路中，u𝑐 = 𝑈0, 电感中的初始电流为𝐼0. 𝑡 = 0时，开关 S 闭合，此时电路的放电过程即是二阶电路 的零输入响应，求u𝑐的微分方程。 解：根据 kvl(基尔霍夫电压定律)得： −𝑢𝑐 + 𝑢𝑅 + 𝑢𝐿=0 𝑢R = 𝑅𝑖，𝑖 = −𝐶 𝑑𝑢𝑐 𝑑𝑡 ,𝑢𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = −𝐿𝐶 𝑑 2𝑢𝑐 𝑑𝑡 2 , 代入上式得：𝐿𝐶 𝑑 2𝑢𝑐 𝑑𝑡 2 + 𝑅𝐶 𝑑𝑢𝑐 𝑑𝑡 + 𝑢𝐶 = 0. u𝑐 (0) = 𝑈0, 𝑖𝐿 (0) = 𝐼0 图 1-3-1 RLC 串联电路 使用拉普拉斯变换求解 : 设ℒ[𝑢𝐶 ] = 𝑈(𝑠),则 ℒ [ 𝑑𝑢𝐶 𝑑𝑡 ] = 𝑠𝑈(𝑠) − 𝑈0, ℒ [ 𝑑 2𝑢𝐶 𝑑𝑡 2 ] = 𝑠 2𝑈(𝑠) − 𝑠𝑈0 − 𝐼0. 对方程两边同取拉普拉斯变换得: LC(𝑠 2𝑈(𝑠) − 𝑠𝑈0 − 𝐼0)+RC(𝑠𝑈(𝑠) − 𝑈0)+ 𝑈(𝑠)=0， 整理得: 𝑈(𝑠) = 𝑅𝐶𝑈0+𝐿𝐶𝑠𝑈0+𝐿𝐶𝐼0 𝐿𝐶𝑠 2+𝑅𝐶𝑠+1 , 取拉式逆变换得： 𝑢𝐶 = [𝑈0 cos ( √4𝐿𝐶−𝑅𝐶2 2𝐿𝐶 𝑡) + 2𝐼0𝐿𝐶+𝑅𝐶𝑈0 √4𝐿𝐶−𝑅𝐶2 sin ( √4𝐿𝐶−𝑅𝐶2 2𝐿𝐶 𝑡)]𝑒 − 𝑅𝐶 2𝐿𝐶𝑡 . GeoGebra 软件运算区求解： 使用 inverselaplace( 𝑅𝐶𝑈0+𝐿𝐶𝑠𝑈0+𝐿𝐶𝐼0 𝐿𝐶𝑠 2+𝑅𝐶𝑠+1 )， 解得 𝑈0 cos ( √4𝐿𝐶−𝑅𝐶2 2𝐿𝐶 𝑠)𝑒 − 𝑅𝐶 2𝐿𝐶𝑠 + 2𝐼0𝐿𝐶+𝑅𝐶𝑈0 √4𝐿𝐶−𝑅𝐶2 sin ( √4𝐿𝐶−𝑅𝐶2 2𝐿𝐶 𝑠)𝑒 − 𝑅𝐶 2𝐿𝐶𝑠 . 这里在求解时，需考虑： (1) 𝑅 > 2√ 𝐿 𝐶 ,非震荡放电过程；当𝐼0 = 0这时微分方程的特征方程有两个 不相等的负根，对𝑢𝐶求导，得𝑖 = −𝐶 𝑑𝑢𝑐 𝑑𝑡 ，对𝑖求导，当𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 0时，可得最大电流𝑖𝑚 . (2) 𝑅 < 2√ 𝐿 𝐶 , 震荡放电过程,这种情况下，微分方程的特征方程有一对共 轭复根
案例1.3.2如图1-3-2所示的电路中，已知U。=10Y,C=1uE,R=4kn.L=1H,开关S 原来闭合在位置1处，在t=0时，开关S由位置1接至位置2处。求： uc,ug,i,uL imax. 1S2 解：根据kw基尔霍夫电压定律)得 -uc+ur uL=o U.C LC+RC+uc=0. c(O)=U,把已知数值代入得： 10-60+4x10-30+c=0, 图1-3-2RLC电路 化简得：装+4×103警+106c=0 初始条件：e(0)=10业，c警=i(0)=0,即uc(0)=0 使用拉普拉斯变换求解】 设c[uc]=U(s),则c9=sU(s)-uc(0)=sU(s)-10, c[=s2Us)-suc0)-t'c0)=s2U9-10s. 对方程两边同取拉普拉斯变换得： s2U(s)-10s+4000(sU(s)-10)+106U(s)=0 整理得：U)=4,取拉式逆变换得： Me=(10.77e-26t-0.773e-3732y.i=-c0-0.0289(e-268-e-3732A "=10.77e-3732r-0.773e-268,令"=0，tm=760us,in=2.19mA n=Ri=11.56(e-26t-e-3732)V,4=L=10.77e3732t-0.773e-268ty. GeoGebra软件运算区求解 方法一：使用solveode(y"+4000y+10y=0) 方法使用nr 解得逆变换为：10cosh(1732.051s)e-200s+11.547e-2000 s sinh(1732.050s) 注：c0sh(1732051=+-12"sinh(1732.0519=-120 案例1.3.3如图1-3-3所示的电路中，已知U=15kV,C=1700uF, .7
- 7 - 案例 1.3.2 如图 1-3-2 所示的电路中，已知𝑈𝑠 = 10𝑉, 𝐶 = 1𝜇𝐹,𝑅 = 4𝑘Ω.𝐿 = 1𝐻,开关 S 原来闭合在位置 1 处，在t = 0时，开关 S 由位置 1 接至位置 2 处。求： 𝑢𝐶, 𝑢𝑅, 𝑖, 𝑢𝐿;𝑖𝑚𝑎𝑥 . 解：根据 kvl(基尔霍夫电压定律)得 −𝑢𝑐 + 𝑢𝑅 + 𝑢𝐿=0 𝑳𝑪 𝒅 𝟐𝒖𝒄 𝒅𝒕 𝟐 + 𝑹𝑪 𝒅𝒖𝒄 𝒅𝒕 + 𝒖𝑪 = 𝟎， 𝒖𝑪 (𝟎) = 𝑼𝒔,把已知数值代入得： 𝟏𝟎−𝟔 𝒅 𝟐𝒖𝒄 𝒅𝒕 𝟐 + 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟑 𝒅𝒖𝒄 𝒅𝒕 + 𝒖𝑪 = 𝟎， 图 1-3-2 RLC 电路 化简得：𝒅 𝟐𝒖𝒄 𝒅𝒕 𝟐 + 𝟒 × 𝟏𝟎𝟑 𝒅𝒖𝒄 𝒅𝒕 + 𝟏𝟎𝟔𝒖𝑪 = 𝟎, 初始条件：𝑢𝐶 (0) = 10𝑉, C 𝑑𝑢𝐶 𝑑𝑡 = 𝑖(0) = 0,即𝑢 ′ 𝐶 (0) = 0 使用拉普拉斯变换求解 : 设ℒ[𝑢𝐶 ] = 𝑈(𝑠),则 ℒ [ 𝑑𝑢𝐶 𝑑𝑡 ] = 𝑠𝑈(𝑠) − 𝑢𝐶 (0) = 𝑠𝑈(𝑠) − 10, ℒ [ 𝑑 2𝑢𝐶 𝑑𝑡 2 ] = 𝑠 2𝑈(𝑠) − 𝑠𝑢𝐶 (0) − 𝑢 ′ 𝐶 (0) = 𝑠 2𝑈(𝑠) − 10𝑠. 对方程两边同取拉普拉斯变换得: 𝑠 2𝑈(𝑠) − 10𝑠 + 4000(𝑠𝑈(𝑠) − 10) + 106𝑈(𝑠) = 0 整理得: 𝑈(𝑠) = 40000+10𝑠 𝑠 2+4000𝑠+106，取拉式逆变换得： 𝑢𝐶 = (10.77𝑒 −268𝑡 − 0.773𝑒 −3732𝑡 )𝑉. 𝑖 = −𝐶 𝑑𝑢𝑐 𝑑𝑡 =0.0289(𝑒 −268𝑡 -𝑒 −3732𝑡 )𝐴, 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 10.77𝑒 −3732𝑡 − 0.773𝑒 −268𝑡 ,令 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 0，𝑡𝑚 = 760𝜇𝑠, 𝑖𝑚 = 2.19𝑚𝐴 𝑢𝑅 = 𝑅𝑖 = 11.56(𝑒 −268𝑡 -𝑒 −3732𝑡 )𝑉,𝑢𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 10.77𝑒 −3732𝑡 − 0.773𝑒 −268𝑡𝑉. GeoGebra 软件运算区求解： 方法一：使用 solveode(y ′′ + 4000y ′ + 106𝑦 = 0) 方法二：使用 inverselaplace( 40000+10𝑠 𝑠 2+4000𝑠+106 , 𝑠), 解得逆变换为: 10 cosh(1732.051s)𝑒 −2000𝑠 + 11.547𝑒 −2000𝑠 sinh(1732.050𝑠). 注：cosh(1732.051s) = 𝑒 1732.050𝑠+𝑒 −1732.050𝑠 2 , sinh(1732.051s) = 𝑒 1732.050𝑠−𝑒 −1732.050𝑠 2 . 案例 1.3.3 如图 1-3-3 所示的电路中，已知𝑈𝑠 = 15𝑘𝑉, 𝐶 = 1700𝜇𝐹