导数与微分 基本初等函数的导数公式 (C)'=0 (x)'=1 (x)′=uxu-1 (' 1 √ (ax)' =axlna (ex)' =ex (log x)' =1 xlna (Inx)'=1 (sinx)' =COSX (cosx)' =-sinx (arcsinx)' V1-x2 (tanx)' =sec2x (arccosx)' -1 V1-x2 (cotx)'=-csc2x 1 (arctanx)' (secx)' =secxtanx 1+x2 -1 (cscx)=-cscxcotx (arccotx)' 1+x2
基本初等函数的导数公式 𝐶 ′ = 0 (𝑥𝜇 )’= 𝜇 𝑥 𝜇 − 1 ( 𝑎 𝑥 )’= 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 (𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥)’= 1 𝑥𝑙𝑛𝑎 (𝑠𝑖𝑛𝑥)’=𝑐𝑜𝑠𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = −𝑠𝑖𝑛𝑥 (𝑡𝑎𝑛𝑥)’=𝑠𝑒𝑐2𝑥 (𝑐𝑜𝑡𝑥)′ = −𝑐𝑠𝑐2𝑥 (𝑠𝑒𝑐𝑥)’=𝑠𝑒𝑐𝑥tan 𝑥 (𝑐𝑠𝑐𝑥 ) ′ = −𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑥 ′ = 1 ( 𝑥)’= 1 2 𝑥 ( 𝑒 𝑥 )’= 𝑒 𝑥 (𝑙𝑛𝑥)’= 1𝑥 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥)’= 1 1 − 𝑥 2 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)’= − 1 1 − 𝑥 2 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥)’= 1 1 + 𝑥 2 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑥)’= − 1 1 + 𝑥 2
第七讲 对数求导法则 参数方程求导法则
第七讲 对数求导法则 参数方程求导法则
导数与微分 1.对数求导法则 已知y=u(x)(),求y的导数(u(x)>0) 步骤：(1)方程两边同时取对数： Iny Inu(x)"(x)=v(x).Inu(x) (2)方程两边同时对x求导数： Y=p'(x)lnu(ex)+v() u'(x) u(x) -y=+ta剑 (3)回代 y-wvmt+uw周
已知𝒚 = 𝒖(𝒙) 𝒗(𝒙) ,求𝒚的导数(𝒖(𝒙) > 𝟎) 步骤： （2）方程两边同时对𝒙求导数; （1）方程两边同时取对数; 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒖(𝒙) 𝒗(𝒙) 𝒚 ′ = 𝒚 𝒗 ′ (𝒙)𝒍𝒏𝒖 𝒙 + 𝒗 𝒙 𝒖 ′ 𝒙 𝒖 𝒙 𝒚′ = 𝒖(𝒙) 𝒗(𝒙) 𝒗′(𝒙)𝒍𝒏𝒖 𝒙 + 𝒗 𝒙 𝒖 ′ 𝒙 𝒖 𝒙 （3）回代 1.对数求导法则 𝒚′ 𝒚 = 𝒗′ 𝒙 𝒍𝒏𝒖(𝒙) + 𝒗(𝒙) 𝒖′(𝒙) 𝒖(𝒙) ⟹ = 𝒗(𝒙) ∙ 𝒍𝒏𝒖(𝒙)
导数与微分 例1：求y=xsinx的导数(x>0), 解：运用取对数求导法 Iny Inxsinx sinxlnx 两边关于x求导： =(sinx)'Inx+sinx(Inx) 2 yy(cosxinx 故y=n(cosx+s
运用取对数求导法 两边关于 𝒙 求导： 故 解： 例1：求𝒚 = 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙的导数 𝒙 > 𝟎 . 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒍𝒏𝒙 𝒚′ 𝒚 = (𝒔𝒊𝒏𝒙)′𝒍𝒏𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙(𝒍𝒏𝒙)′ 𝒚 ′ = 𝒚(𝒄𝒐𝒔𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒙 ) 𝒚′ = 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙(𝒄𝒐𝒔𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒙 )
导数与微分 练习：求y=xx的导数(x>0). 解：运用取对数求导法 Iny Inxx xlnx 两边关于x求导： >手nx+xy y=xx'(x>0) y=? y'=y(Inx +1) 故y=xx(lnx+1)
练习：求𝒚 = 𝒙 𝒙的导数 𝒙 > 𝟎 . 运用取对数求导法 两边关于 𝒙 求导： 故 解： 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 𝒙 = 𝒙𝒍𝒏𝒙 𝒚′ 𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 + 𝒙(𝒍𝒏𝒙)′ 𝒚′ = 𝒚(𝒍𝒏𝒙 +1) 𝒚′ = 𝒙 𝒙 (𝒍𝒏𝒙 + 𝟏) 𝒚 = 𝒙 𝒙 𝒙 (𝒙 > 𝟎) 𝒚 ′ =?