第一讲 微分中值定理
第一讲 微分中值定理
中值定理与导数应用 一.微分中值定理 利用导数来研究函数在区间上的特性 1.罗尔中值定理 2.拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定 理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变 化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值 定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的 特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）
拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定 理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变 化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值 定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的 特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。 利用导数来研究函数在区间上的特性 一.微分中值定理 1.罗尔中值定理 2.拉格朗日中值定理
中值定理与导致应用 费马(Fermat)i 引理 引理：设函数f(x)在点xo的某邻域U(xo.)内 有定义，并且在x处可导，如果对任意的 xo∈U(xo,6),有 f(x)≤f(xo),或f(x)≥f(xo), 那么f'(xo)=0 oa1 E2 bx
费马（𝑭𝒆𝒓𝒎𝒂𝒕）引理 引理： 设函数𝒇(𝒙)在点𝒙0的某邻域𝑼(𝒙0,𝜹)内 𝒇(𝒙)≤𝒇(𝒙 0 )， 𝒙0∈𝑼(𝒙0,𝜹)，有 那么𝒇 ′ (𝒙0 )=𝟎 有定义， 𝑦 𝑥 𝑜 ξ1 ξ2 𝑎 𝑏 并且在𝒙0处可导，如果对任意的 或𝒇(𝒙)≥𝒇(𝒙0 )
中值定理与导数应用 罗尔(Rollr)中值定理 定理1： 如果函数f(x): 在[a,b]上连续； 在(a,b)内可导； f(a)=f(b), 那么在(a,b)内至少 有一点(a<<b), 使得f'()=0. 0aξ1&2bx
定理1： 罗尔(𝑹𝒐𝒍𝒍𝒓)中值定理 如果函数𝒇(𝒙): 𝒇(𝒂) = 𝒇(𝒃)， 在(𝒂, 𝒃)内可导； 那么在(𝒂, 𝒃)内至少 有一点𝝃(𝒂 < 𝝃 < 𝒃), 在[𝒂, 𝒃]上连续； 使得𝒇 ′ (𝝃) =0. 𝑦 𝑥 o ξ1 ξ2 𝑎 𝑏
中值定理与导数应用 例1：验证下列函数是否满足罗尔中值定理。 (1)y=x2 x∈[-2,2] 证明：显然y=x2在[-2,2]上连续，在(-2,2)上可导， 且f(-2)=f(2)=4; 满足 故：f()=2ξ=0，即ξ=0. (2)y=Ix|x∈[-1,1] 不满足 因为在(-1,1)上不可导
例1：验证下列函数是否满足罗尔中值定理。 (𝟏) 𝒚 = 𝒙 2 𝒙∈[−𝟐, 𝟐] (𝟐) 𝒚 = |𝒙| 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] 证明：显然𝒚 = 𝒙 2在[−𝟐, 𝟐]上连续，在(−𝟐, 𝟐)上可导， 故： 𝒇 ´(𝝃) = 𝟐𝝃 = 𝟎,即𝝃 = 𝟎. 满足 因为在(−𝟏, 𝟏)上不可导。 不满足 且𝒇(−𝟐) = 𝒇(𝟐) = 𝟒;