在球极坐标系中 立.=0cw0g ò (5.6) 0 M.=-ih 12 (5.7)
在球极坐标系中 = − − = − + = M i M i M i z y x (cos cot sin ) (sin cot cos ) ] sin (sin ) sin [ 2 2 2 2 2 1 1 + = − M (5.6) (5.7)
3对易规则(commutation rules) M,M,-M,M,=in M. (5.8a M.M.-M.M,=inM, (5.8b) N.N.-N,M.=inM (5.8c) MM-M.M=0 (5.9) 即 [M,M,=hM[M,M,1=0(5.10)
3 对易规则(commutation rules) x y − y x = Mz M M M M i y z − z y = Mx M M M M i z x − x z = M y M M M M i 0 2 2 − = M M z M z M 即 i j = Mk [M ,M ] i 0 2 = [ , ] M M j (5.8a) (5.8b) (5.8c) (5.9) (5.10)
相互对易的算符具有共同的本征函数 AΨ=aΨBΨ=bΨ 物理量A和B可同时测定，具有确定值a和b. 证明：若[A,B]=0,设 BΨ=bΨ ABΨ=BAΨ b(A平)=B(AΨ) 因此，A平也是算符B的本征函数，最多相差一 个常数.即 AΨ=cΨ 上式表明平也是算符A的一个本征函数
相互对易的算符具有共同的本征函数 = ， A a = B b 物理量A和 B可同时测定，具有确定值a和 b. 证明: 若 [A, B] = 0 , 设 = B b b(A ) B(A ) AB BA = = 因此, 也是算符 的本征函数, 最多相差一 个常数. 即 A B = A c 上式表明也是算符 的一个本征函数. A
4.lamilton算符与角动量的对易规则 H,M21=0H,M1=0 (4.12) 月=7+立=-是v+y (4.13) 2m v2-2+16ime)+ 162 -)+ r2 oror r2 sine a0 a0'r2 sin20062 、1 M2 r2 Or (4.14) r2h2
4. Hamilton算符与角动量的对易规则 0 2 = [H, M ] = 0 [H, M z ] V m H = T+V = − + 2 2 2 − = + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 M r r r r r r r r r r r ( ) sin (sin ) sin ( ) (4.12) (4.13) (4.14)
5.角动量的本征函数 令M?、M.的共同本征函数 Y=Y(00=s(e T( (4.15) 本征方程 M.Y(0,)=bY(0,p) (4.16) M2Y(0,p)=cY(0,p) (4.17) 求解(4.16)
5. 角动量的本征函数 令 、 的共同本征函数 2 M M z Y = Y(,) = S() T() (4.15) 本征方程 M Y( ,) bY( ,) z = M Y(,) = cY(,) 2 (4.16) (4.17) 求解(4.16)