第三章随机变量的数字特征 3.2 方差和矩 1 3.2.1方差(Variance 1 3.2.2矩.. 8 3.3协方差和相关系数 11 3.3.1协方差... 12 3.3.2相关系数 15 3.4其他一些数字特征与相关函数.········ 23 Previous Next First Last Back Forward 1
第三章随机变量的数字特征 3.2 方差和矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3.2.1 方差 (Variance) . . . . . . . . . . . . . 1 3.2.2 矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3 协方差和相关系数 . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3.1 协方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3.2 相关系数 . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4 其他一些数字特征与相关函数 . . . . . . . . . 23 Previous Next First Last Back Forward 1
3.2 方差和矩 3.2.1方差(Variance) 方差是刻画随机变量在其中心位置附近的散布程度.在实际应用 中，方差不仅是信息度量的标准也是风险度量的标准。 甲乙两人射击水平如下所示 TExample 击中环数 8 9 10 击中环数 8 9 10 甲： 乙 概率 0.3 0.1 0.6 概率 0.2 0.5 0.3 试问两人谁的水平更稳定？ ⊥Example Previous Next First Last Back Forward
3.2 方差和矩 3.2.1 方差 (Variance) 方差是刻画随机变量在其中心位置附近的散布程度. 在实际应用 中, 方差不仅是信息度量的标准也是 风险度量的标准. ↑Example 甲乙两人射击水平如下所示 甲: 击中环数 8 9 10 概率 0.3 0.1 0.6 乙: 击中环数 8 9 10 概率 0.2 0.5 0.3 试问两人谁的水平更稳定? ↓Example Previous Next First Last Back Forward 1
由上一讲知道，两人每次射击的期望击中环数分别为9.3和9.1， 因此，两人射击N次的方差为 0.3N*(8-9.3)2+0.1N*(9-9.3)2+0.6N*(10-9.3)2=0.81N 0.2W*(8-9.1)2+0.5N*(9-9.1)2+0.3N*(10-9.1)2=0.49N 所以乙的水平更稳定。 Previous Next First Last Back Forward 2
由上一讲知道, 两人每次射击的期望击中环数分别为 9.3 和 9.1, 因此, 两人射击 N 次的方差为 0.3N ∗ (8 − 9.3)2 + 0.1N ∗ (9 − 9.3)2 + 0.6N ∗ (10 − 9.3)2 = 0.81N 0.2N ∗ (8 − 9.1)2 + 0.5N ∗ (9 − 9.1)2 + 0.3N ∗ (10 − 9.1)2 = 0.49N 所以乙的水平更稳定。 Previous Next First Last Back Forward 2
设X为随机变量，分布为F,若X平方可积，则称 Var(X)=E(X-EX)2=a2 Definition 为X(或分布F)的方差，其平方根√War(X)=g(取正 值)称为X(或分布F)的标准差. 显然有 Var(X)=EX2-(EX)2. Previous Next First Last Back Forward 3
设 X 为随机变量, 分布为 F, 若 X 平方可积, 则称 V ar(X) = E(X − EX) 2 = σ 2 为 X (或分布 F) 的方差, 其平方根 √ V ar(X) = σ (取正 值) 称为 X (或分布 F) 的标准差. Definition 显然有 V ar(X) = EX2 − (EX) 2 . Previous Next First Last Back Forward 3
对随机变量的方差，我们可以得到 定理1.设c为常数.则有 1.0≤Var(X)=EX2-(EX)2,因此Var(X)≤EX2. 2.Var(cX)=c2Var(X) 3.Var(X)=0当且仅当P(X=c)=1,其中c=EX.此时， 我们称X退化到常数C. 4.对任何常数c有，Var(X)≤E(X-c)2,其中等号成立当且仅 当c=EX. 5.如果随机变量X和Y相互独立，a,b为常数.则Var(aX+ bY)=a2Var(X)+b2Var(Y). 证明上述定理，我们介绍一个引理。 Previous Next First Last Back Forward 4
对随机变量的方差, 我们可以得到 定理 1. 设 c 为常数. 则有 1. 0 ≤ V ar(X) = EX2 − (EX) 2 , 因此 V ar(X) ≤ EX2 . 2. V ar(cX) = c 2V ar(X) 3. V ar(X) = 0 当且仅当 P(X = c) = 1, 其中 c = EX. 此时, 我们称 X 退化到常数 c. 4. 对任何常数 c 有, V ar(X) ≤ E(X − c) 2 , 其中等号成立当且仅 当 c = EX. 5. 如果随机变量 X 和 Y 相互独立, a, b 为常数. 则 V ar(aX + bY ) = a 2V ar(X) + b 2V ar(Y ). 证明上述定理，我们介绍一个引理。 Previous Next First Last Back Forward 4