第四章大数定律和中心极限定理 4.1大数定律 1 4.2中心极限定理 5 Previous Next First Last Back Forward 1
第四章大数定律和中心极限定理 4.1 大数定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4.2 中心极限定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Previous Next First Last Back Forward 1
极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，大 数定律，是概率论中讨论随机变量和的平均值的收敛情况，是数理统 计学中参数估计的理论基础.中心极限定理，是概率论中讨论随机变 量和的分布以正态分布为极限的一组定理，这组定理是数理统计学和 误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。 4.1大数定律 如果对任何e>0,都有 limP(ln-l≥e)=0, n-oc Definition 那么我们就称随机变量序列{m,n∈N}依概率收敛到随机 变量5，记为En马 Previous Next First Last Back Forward
极限定理是概率论的重要内容, 也是数理统计学的基石之一. 大 数定律, 是概率论中讨论随机变量和的平均值的收敛情况, 是数理统 计学中参数估计的理论基础. 中心极限定理, 是概率论中讨论随机变 量和的分布以正态分布为极限的一组定理, 这组定理是数理统计学和 误差分析的理论基础, 指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件. 4.1 大数定律 如果对任何 ε > 0, 都有 limn→∞ P(|ξn − ξ| ≥ ε) = 0, 那么我们就称随机变量序列 {ξn, n ∈ N} 依概率收敛到随机 变量 ξ, 记为 ξn p→ ξ. Definition Previous Next First Last Back Forward 1
定理1.设{Xn}是一列独立同分布亿.i.d.)的随机变量序列，具有 公共的数学期望4和方差σ2.则 x=∑xh, 1 即{Xm}服从（弱）大数定律。 [注：实际上，我们只需要均值存在即有大数定律成立，上述定理中 加上了方差存在的条件，只是为了证明的方便。 作为上述定理的一个特例，我们有 Previous Next First Last Back Forward 2
定理 1. 设 {Xn} 是一列独立同分布 (i.i.d.) 的随机变量序列，具有 公共的数学期望 µ 和方差 σ 2 . 则 X = 1 n ∑n k=1 Xk p→ µ, 即 {Xn} 服从 (弱) 大数定律。 [注]: 实际上，我们只需要均值存在即有大数定律成立，上述定理中 加上了方差存在的条件，只是为了证明的方便。 作为上述定理的一个特例，我们有 Previous Next First Last Back Forward 2
如果以(m表示n重Bernoulli试验中的成功次数，则有 TExample n B p. n ⊥Example 如果用fn=(m/n表示成功出现的频率，则上例说明∫n马p,即频 率（依概率）收敛到概率 为证明定理1，我们需要如下的Chebyshev不等式： 引理1(Chebyshev不等式).设随机变量X的方差存在，则 PIX-EX≥e)sar .e>0. E2 我们可以用Chebyshev不等式来估计X与EX的偏差，但是 Chebyshev不等式作为一个理论工具比作为估计的实际方法要恰当 Previous Next First Last Back Forward 3
↑Example 如果以 ζn 表示 n 重 Bernoulli 试验中的成功次数, 则有 ζn n p→ p. ↓Example 如果用 fn = ζn/n 表示成功出现的频率, 则上例说明 fn p→ p, 即频 率 (依概率) 收敛到概率. 为证明定理1, 我们需要如下的 Chebyshev不等式: 引理 1 (Chebyshev 不等式). 设随机变量 X 的方差存在，则 P(|X − EX| ≥ ε) ≤ Var (X) ε 2 , ∀ ε > 0. 我们可以用 Chebyshev 不等式来估计 X 与 EX 的偏差, 但是 Chebyshev不等式作为一个理论工具比作为估计的实际方法要恰当 Previous Next First Last Back Forward 3
一些，其重要性在于它的应用普遍性，但是不能希望很普通的命题对 一些个别情况给了深刻的结果.如令X为掷一个均匀的骰子所得到 的点数，则4=EX=7/2,a2=Var(X)=35/12.X与4的最 大偏差为2.5≈3a/2.X-4大于这个偏差的概率为0，然而利用 Chebyshev不等式仅仅断定这个概率少于0.47.这时就需要找更精确 的估计. 定理l的证明.利用Chebyshev不等式，并注意到Ex=4,Varx= o2/m,我们有， P(r-4l≥e)≤a2/(ne2)→0，n→o∞e>0. 定理得证 Previous Next First Last Back Forward 4
一些, 其重要性在于它的应用普遍性, 但是不能希望很普通的命题对 一些个别情况给了深刻的结果. 如令 X 为掷一个均匀的骰子所得到 的点数, 则 µ = EX = 7/2, σ2 = Var(X) = 35/12. X 与 µ 的最 大偏差为 2.5 ≈ 3σ/2. |X − µ| 大于这个偏差的概率为 0, 然而利用 Chebyshev 不等式仅仅断定这个概率少于 0.47. 这时就需要找更精确 的估计. 定理1的证明. 利用 Chebyshev不等式，并注意到 EX = µ, VarX = σ 2 /n, 我们有, P(|X − µ| ≥ ε) ≤ σ 2 /(nε 2 ) → 0, n → ∞ ∀ε > 0. 定理得证. Previous Next First Last Back Forward 4