第六章：参数估计 6.1点估计.. 2 6.1.1矩估计方法 2 6.1.2 最大似然估计方法 7 6.1.3点估计的优良准则 20 Previous Next First Last Back Forward 1
第六章: 参数估计 6.1 点估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6.1.1 矩估计方法 . . . . . . . . . . . . . . . 2 6.1.2 最大似然估计方法 . . . . . . . . . . . 7 6.1.3 点估计的优良准则 . . . . . . . . . . . 20 Previous Next First Last Back Forward 1
参数估计问题： ·总体：X~fa(x),f形式已知，0=(0，，0k) 为未知参数 。 样本：Xi,,Xn 利用样本对参数0的作出估计或估计它们的某个已知函数g() ·点估计：用样本的一个函数T(X1,,Xn)去估计g(0) ·区间估计：用一个区间（区域）去估计g() Previous Next First Last Back Forward 1
参数估计问题: • 总体: X ∼ fθ(x),f 形式已知, θ = (θ1, . . . , θk) 为未知参数 • 样本: X1, . . . , Xn 利用样本对参数 θ 的作出估计或估计它们的某个已知函数 g(θ). • 点估计: 用样本的一个函数 T(X1, . . . , Xn) 去估计 g(θ) • 区间估计: 用一个区间 (区域) 去估计 g(θ) Previous Next First Last Back Forward 1
6.1 点估计 根据样本X1,·,Xm来估计参数0，就是要构造适当的统计 量0=(X1,…,Xn).当有了样本X1,…,Xn的值后，就代入 0=(X1,·,Xn)中算出一个值，用来作为0的估计值.为这样特 定目的而构造的统计量0叫做0的估计量.由于参数0是数轴上的 一个点，用估计0，等于用一个点去估计另一个点，所以这样的估计 叫做点估计. 求点估计的方法有多种，下面介绍两种点估计方法： 6.1.1矩估计方法 矩方法追溯到19世纪的Karl Pearson.矩方法是基于一种简 单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.其基本思想是用样本矩 估计总体矩.由大数律，如果未知参数和总体的某个（些）矩有关系， 我们很自然的来构造未知参数的估计。 Previous Next First Last Back Forward 2
6.1 点估计 根据样本 X1, · · · , Xn 来估计参数 θ, 就是要构造适当的统计 量 ˆθ = ˆθ(X1, · · · , Xn). 当有了样本 X1, · · · , Xn 的值后, 就代入 ˆθ = ˆθ(X1, · · · , Xn) 中算出一个值, 用来作为 θ 的估计值. 为这样特 定目的而构造的统计量 ˆθ 叫做 θ 的估计量. 由于参数 θ 是数轴上的 一个点, 用 ˆθ 估计 θ, 等于用一个点去估计另一个点, 所以这样的估计 叫做点估计. 求点估计的方法有多种, 下面介绍两种点估计方法: 6.1.1 矩估计方法 矩方法追溯到 19 世纪的Karl Pearson. 矩方法是基于一种简 单的 “替换” 思想建立起来的一种估计方法. 其基本思想是用样本矩 估计总体矩. 由大数律，如果未知参数和总体的某个 (些) 矩有关系， 我们很自然的来构造未知参数的估计。 Previous Next First Last Back Forward 2
回忆一下以前关于矩的记法： 样本k阶矩： a=∑X m=∑x:-) =1 1 总体k阶矩：ak=EX Hk=E(X-EX) 因此在k阶矩存在的情况下，根据大数律有 akP ak:mk P uk 从而我们可以使用ak,mk分别估计ak,k,进而得到0的估计.介 绍如下：假设总体X包含k个未知参数0=(01，·，0k),由方程组 a1=fi(0,…,0e） ak=fk(01,·,0k) Previous Next First Last Back Forward 3
回忆一下以前关于矩的记法： 样本k阶矩: ak = 1 n ∑n i=1 X k i mk = 1 n ∑n i=1 (Xi − X¯) k 总体k阶矩: αk = EXk µk = E(X − EX) k 因此在 k 阶矩存在的情况下，根据大数律有 ak p −→ αk, mk p −→ µk 从而我们可以使用 ak, mk 分别估计 αk, µk, 进而得到 θ 的估计. 介 绍如下: 假设总体 X 包含 k 个未知参数 θ = (θ1, · · · , θk), 由方程组 α1 = f1(θ1, · · · , θk) . . . αk = fk(θ1, · · · , θk) Previous Next First Last Back Forward 3
反解得到 01=9(a1,·,ak)） 0k=gk(a1,··,0k） 将其中的总体矩用相应的样本矩代替，则我们可以得到参数01，·，0x 的一个估计： 01=g(a1,…,ak) 0k=gk(a1,·,ak）】 若要估计参数01，…，0k的某函数g(01,…,0k),则用g(01,…·,0) 去估计它 这里我们用的都是原点矩αk,当然也可以使用中心矩k,或者 两个都使用。在这种情况下，只需要把相应的总体矩换成样本矩。我 们称这种估计方法为矩估计法，得到的估计量称为矩估计量。矩估计 方法应用的原则是：能用低阶矩处理的就不用高阶矩。 Previous Next First Last Back Forward 4
反解得到 θ1 = g1(α1, · · · , αk) . . . θk = gk(α1, · · · , αk) 将其中的总体矩用相应的样本矩代替，则我们可以得到参数 θ1, · · · , θk 的一个估计: ˆθ1 = g1(a1, · · · , ak) . . . ˆθk = gk(a1, · · · , ak) 若要估计参数 θ1, · · · , θk 的某函数 g(θ1, · · · , θk), 则用 g( ˆθ1, · · · , ˆθk) 去估计它. 这里我们用的都是原点矩 αk，当然也可以使用中心矩 µk，或者 两个都使用。在这种情况下，只需要把相应的总体矩换成样本矩。我 们称这种估计方法为矩估计法，得到的估计量称为矩估计量。矩估计 方法应用的原则是：能用低阶矩处理的就不用高阶矩。 Previous Next First Last Back Forward 4