第二章随机变量及其分布 2.5 随机变量的函数的概率分布. 2.5.1离散型随机变量的情形 1 2.5.2连续型随机变量的情形 5 2.5.3极小值和极大值的分布..·..·. 28 Previous Next First Last Back Forward 1
第二章随机变量及其分布 2.5 随机变量的函数的概率分布 . . . . . . . . . . 1 2.5.1 离散型随机变量的情形 . . . . . . . . . 1 2.5.2 连续型随机变量的情形 . . . . . . . . . 5 2.5.3 极小值和极大值的分布 . . . . . . . . . 28 Previous Next First Last Back Forward 1
2.5 随机变量的函数的概率分布 最简单的情形，是由一维随机变量X的概率分布去求其一给定 函数Y=g(X)的分布。较常见的，是由(X1,X2,·,Xn)的分布去 求Y=g(X1,X2,…,Xn)的分布。更一股地，由(X1,X2,…,Xn) 的分布去求(Y,Y2,…,Ym)的分布，其中Y=g(X1,X2,·,Xn), i=1,2,,mo 这一部分内容，与数理统计中求统计量的分布有密切的联系。 2.5.1离散型随机变量的情形 设X的分布律为 P(X=x)=p,i=1,2,… g:R+R,令Y=g(X),则Y的分布律为 PY=)=P(g(X)=)=∑P(X=x)=∑p xt:9(rt)=1 i:g(i)=yj Previous Next First Last Back Forward 1
2.5 随机变量的函数的概率分布 最简单的情形，是由一维随机变量 X 的概率分布去求其一给定 函数 Y = g(X) 的分布。较常见的，是由 (X1, X2, · · · , Xn) 的分布去 求 Y = g(X1, X2, · · · , Xn) 的分布。更一般地，由 (X1, X2, · · · , Xn) 的分布去求 (Y1, Y2, · · · , Ym) 的分布，其中 Yi = gi(X1, X2, · · · , Xn), i = 1, 2, · · · , m。 这一部分内容，与数理统计中求统计量的分布有密切的联系。 2.5.1 离散型随机变量的情形 设 X 的分布律为 P(X = xi) = pi, i = 1, 2, · · · g : R → R，令 Y = g(X)，则 Y 的分布律为 P(Y = yj ) = P(g(X) = yj ) = ∑ xi:g(xi)=yj P(X = xi) = ∑ i:g(xi)=yj pi Previous Next First Last Back Forward 1
设X的概率函数为 TExample X -1 0 1 2 P 1/4 1/2 1/81/8 试求Y=X2,Z=X3+1的分布律。 ⊥Example 解： Previous Next First Last Back Forward 2
↑Example 设 X 的概率函数为 X -1 0 1 2 P 1/4 1/2 1/8 1/8 试求 Y = X 2 , Z = X 3 + 1 的分布律。 ↓Example 解: 容易求得 Y 的分布律为: Y 0 1 4 P 1/2 3/8 1/8 Z 的分布律 Z 0 1 2 9 P 1/4 1/2 1/8 1/8 Previous Next First Last Back Forward 2
上述结论可以推广到多维随机变量的情形： 设随机向量X的分布律为P(X=x),则X的函数Y=g(X) 的分布律为 P(Y=y)=P(g(X)=)=>P(X=z) t:9(E)=y 特别当5，n是相互独立的非负整值随机变量，各有分布律{k}与 {b:.那么ξ+n有分布律 P+n=m=∑atb- 7 k0 称此公式为离散卷积公式 Previous Next First Last Back Forward 3
上述结论可以推广到多维随机变量的情形: 设随机向量 X 的分布律为 P(X = x)，则 X 的函数 Y = g(X) 的分布律为 P(Y = y) = P(g(X) = y) = ∑ x:g(x)=y P(X = x) 特别当 ξ, η 是相互独立的非负整值随机变量，各有分布律 {ak} 与 {bk}. 那么 ξ + η 有分布律 P(ξ + η = n) = ∑n k=0 akbn−k 称此公式为离散卷积公式 Previous Next First Last Back Forward 3
设XB(n,p),Y~B(m,p)且X和Y相互独立，则X+Y~ TExample B(n+m,p)。 ↓Example 这种性质称为再生性。可推广至多项和：设X:~B(,p),(i= 1,2m,且X,X2,,Xm独立，则有：店X心B(公n,p 特别，若X1,X2,…,Xn为独立同分布，且X:~B(1,pi= 1,…,n.则有：∑X,~B(n,p)。此结论揭示了二项分布与0-1分 布之间的密切关系。 设X~P(),Y~P(),且X和Y独立，则有X+Y TExample P(A+)。即Poisson分布亦具有再生性。 ⊥Example Previous Next First Last Back Forward 4
↑Example 设 X ∼ B(n, p)，Y ∼ B(m, p) 且 X 和 Y 相互独立，则 X+Y ∼ B(n + m, p)。 ↓Example 这种性质称为再生性。可推广至多项和：设 Xi ∼ B(ni, p),(i = 1, 2, · · · , m)，且 X1, X2, · · · , Xm 独立，则有: ∑m i=1 Xi ∼ B( ∑m i=1 ni, p)。 特别，若 X1, X2, · · · , Xn 为独立同分布，且 Xi ∼ B(1, p), i = 1, · · · , n. 则有: ∑n i=1 Xi ∼ B(n, p)。此结论揭示了二项分布与 0 − 1 分 布之间的密切关系。 ↑Example 设 X ∼ P(λ)，Y ∼ P(µ)，且 X 和 Y 独立，则有 X + Y ∼ P(λ + µ)。即 P oisson 分布亦具有再生性。 ↓Example Previous Next First Last Back Forward 4