概率论与数理统计讲义 —概率论部分 张伟平 2007 Fall
V«ÿÜÍn⁄O˘¬ ——V«ÿ‹© ‹ï² 2007 Fall
目录 第一章样本空间与概率 1 1.1序言...... 1 1.2样本空间与事件 1 1.3概率及概率模型... 4 1.4古典概型 7 1.5条件概率 12 1.6全概率公式和Bayes公式 14 1.7独立性..····· 17 1.8求概率的一些方法 20 参考文献........ 23 i
8¹ 1òŸ òmÜV« 1 1.1 SÛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 òmÜØá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 V«9V« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 ;V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 ^áV« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 V«˙™⁄Bayes˙™ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7 ’·5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8 ¶V«ò ê{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ωz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 i
第一章 样本空间与概率 1.1序言 我们周围的世界充满了我们认为是随机的或者不可预知的现象。我们把这些现象当作某 种”实验”（随机实验）的结果，这里的“实验”应该从最广泛的角度理解。我们把这种实验的可能 结果视为是一个“样本空间”的元素，而“样本空间”的子集称为“事件”，每个“事件”被赋 予一个“概率”值，这个值位于0和1之间，来表示此“事件”发生的可能性大小。 1.2样本空间与事件 定义1.2.l.样本空间(Sample Space)是一个集合，其元素描述了我们所感兴趣的实验结果。常记 为；样本空间的元素，称为样本，点，记为w 例1.2.1.抛一枚色子，观察出现的点数。则2={1,2,34,5,6} 例1.2.2.考察某一地区的年降雨量，则2={x0≤x<T},这里T表示某个常数，表示降雨量不 会超过T 例1.2.3.若我们从四个人那收到4封信，则样本空间是什么？ 选择合适的样本空间 样本空间的元素应该是相互不同的，根据试验的不同目的，样本空间应该予以不同的选择.但 是总的原则是样本空间应该尽可能详细，即尽可能包含所有可能的结果.看下面的例子 例1.2.4.1).将一枚硬币抛三次，考察正反面出现的情况； 2).将一枚硬币抛三次，考察正面出现的次数。 这两个试验的目的不同，因此样本空间的选取也不同。 1
1òŸ òmÜV« 1.1 SÛ ·Ç±å.ø˜ ·Ç@è¥ëŽˆÿå˝yñ"·Çr˘ yñä, ´”¢”(ëÅ¢)(Jߢp/¢0ATlÅ2ç›n)"·Çr˘´¢åU (J¿è¥òá/ òm0Éß / òm0f8°è/Øá0ßzá/Øá0D Éòá/V«0äߢáä†u0⁄1Émß5L´d/Øá0u)åU5å" 1.2 òmÜØá ½¬ 1.2.1. òm(Sample Space)¥òá8‹ßŸÉ£„ ·Ç§a,¢(J"~P èΩ; òmÉß°è :ßPèω. ~1.2.1. òq⁄fß* —y:Í"KΩ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. ~1.2.2. ,ò/´c¸Ö˛ßKΩ = {x|0 ≤ x < T}ߢpTL´,á~ÍßL´¸Ö˛ÿ ¨áLT. ~1.2.3. e·Çloá<@¬4µ&ßK òm¥üoº ¿J‹· òm òmÉAT¥Épÿ”, ä‚£ÿ”8, òmATɱÿ”¿J. ¥oK¥ òmAT¶åUç[, =¶åUù¹§kåU(J. we°~f ~1.2.4. (1). ÚòqM1ngß á°—yú¹; (2). ÚòqM1ngß °—ygÍ" ˘¸á£8ÿ”ßœd òm¿èÿ”" 1
定义1.2.2.样本空间的子集称为随机事件，简称为事件Event)。事件通常用大写字母A,B,C等 表示。我们称事件A发生，当且仅当该次实验的结果是事件A中的元素。特别，由一个样本点组 成的事件称为基本事件：由于2二2且在每次试验中2必然发生，故称2为必然事件：空集中不包 含任何样本点但中C2,故称其为不可能事件。 集合与事件的运算事件是一个集合，因此集合之间的关系及运算法则同样适用于事件。集合的 运算法则： SUT-TUS SU(TUU)=(SUT)UU sn(TUU)=(snT)U(snU) Su(TnU)=(SUT)n(SUU) (Sc)c=S SU2=2 S∩2=S (Us)=ns ns)=Us (de Morgan's laws) 事件之间也满足同样的运算法则。在概率论中，集合的关系赋予了特殊的表示意义：以 下A,B,C等表示事件。 1.ACB:表示当事件A发生时事件B必发生。若ACB,BCA,则称事件A,B是相等的，记 为A=B。 2.AnB(或者AB:表示事件A,B同时发生，类似的对多个事件A1,A2,·,A,,则这些事 件同时发生表示为∩mAn或者nAn 3.AUB(或者A+B):表示事件A发生或者事件B发生或者称为事件A,B中至少发生一个。类 似的对多个事件A1,A2,·,An,,则这些事件至少发生一个表示UnAn或者∑mAn: 4.A-B:表示事件A发生而事件B不发生。 5.A(或者A):表示A不发生，称为A的对立事件。显然，Ac=2-A。 6.若事件A,B不可能在同一次试验中同时发生，则称A,B是互斥的（此时AB=)。若一些事 件中任意两个事件都是互斥的，则称这些事件是两两互斥的。 通过事件的关系我们可以表示一些复杂的事件，如 2
½¬ 1.2.2. òmf8°èëÅØáß{°èØá(Event)"Øáœ~^åi1A, B, C L´"·Ç°ØáAu)ßÖ=Tg¢(J¥ØáA•É"AOßdòá :| §Øá°èƒ Øá¶duΩ ⊆ ΩÖ3zg£•Ω7,u)ß°Ωè7,Øá¶ò8φÿù ¹?¤ :φ ⊂ Ωß°ŸèÿåUØá" 8‹ÜØá$é Øá¥òá8‹ßœd8‹Ém'X9$é{K”·^uØá"8‹ $é{K: S ∪ T = T ∪ S S ∪ (T ∪ U) = (S ∪ T) ∪ U S ∩ (T ∪ U) = (S ∩ T) ∪ (S ∩ U) S ∪ (T ∩ U) = (S ∪ T) ∩ (S ∪ U) (S c ) c = S S ∩ S c = φ S ∪ Ω = Ω S ∩ Ω = S [ n Sn !c = \ n S c n \ n Sn !c = [ n S c n (de Morgan0 s laws) ØáÉmè˜v”$é{K"3V«ÿ•ß8‹'XDÉ AœL´ø¬µ± eA, B, C L´Øá" 1. A ⊂ B: L´ØáAu)ûØáB7u)"eA ⊂ B, B ⊂ AßK°ØáA, B ¥É ßP èA = B" 2. A ∩ B(½ˆAB): L´ØáA, B”ûu)ßaqÈıáØáA1, A2, · · · , An, · · ·ßK˘ Ø á”ûu)L´è T n An½ˆ Q n An¶ 3. A ∪ B(½ˆA + B): L´ØáAu)½ˆØáBu)½ˆ°èØáA, B•ñu)òá"a qÈıáØáA1, A2, · · · , An, · · ·ßK˘ Øáñu)òáL´è S n An½ˆ P n An¶ 4. A − B: L´ØáAu) ØáBÿu)" 5. Ac (½ˆA¯): L´Aÿu)ß°èAÈ·Øá"w,ßAc = Ω − A" 6. eØáA, BÿåU3”òg£•”ûu)ßK°A, B¥p½(dûAB = φ)"eò Ø á•?ø¸áØá—¥p½ßK°˘ Ø᥸¸p½" œLØá'X·Çå±L´ò E,ØáßX 2
例1.2.5.设A,B,C是三个事件，试表示下列事件 1.事件A,B发生而C不发生；(ABC) 2.事件A,B,C不同时发生；A+B+C) 3.事件A,B,C中至多有一个发生；AeBe+AC+BcCC) 4.事件A,B,C中至少发生两个；(AB+AC+BC) 5.事件A,B,C中恰好发生两个：(ABC+ABC+ABC) 我们把如上的讨论结果列成一张表： 表1.1：集合和事件关系类比表 符号 集合论意义 概率论意义 2 全集或空间 样本空间，必然事件 p 空集 不可能事件 w 元素 样本点，基本事件 A 可测子集 随机事件 w∈A w是A的元素 试验结果w属于A,事件A发生 ACB A包含在B中 若A发生，则B一定发生：事件A蕴涵事件B A=B A与B相等 A与B为同一事件；它们同时发生或同时不发生 A∩B或AB 交集 表示A与B同时发生 AB=中 不相交 A与B不相容（互斥），它们不可能同时发生 AUB 并集 表示A或B发生，A与B中至少有一个发生 Ac 余集 对立事件：A发生表示A不发生 A-B或ABC 差集 表示A发生，而B不发生 A△B 对称差 表示A与B中恰有一个发生 lim sup An oo =00 An 上极限集合 表示事件序列{A}中有无穷多个事件发生 k=1 n=k lim inf An n→●。 00 =U∩An 下极限集合 表示序列{A}中至多有有限个事件不发生 k=1n三k 3
~1.2.5. A, B, C¥náØáߣL´eØá 1. ØáA, Bu) Cÿu)¶(ABC¯) 2. ØáA, B, Cÿ”ûu); (A¯ + B¯ + C¯) 3. ØáA, B, C•ñıkòáu)¶(AcBc + AcC c + BcC c ) 4. ØáA, B, C•ñu)¸á¶(AB + AC + BC) 5. ØáA, B, C•T–u)¸á¶(ABC¯ + ABC¯ + ABC ¯ ) ·ÇrX˛?ÿ(J§ò‹L: L 1.1: 8‹⁄Øá'Xa'L Œ “ 8‹ÿø¬ V«ÿø¬ Ω 8½òm òm,7,Øá φ ò8 ÿåUØá ω É :,ƒ Øá A åˇf8 ëÅØá ω ∈ A ω¥AÉ £(Jω·uA,ØáAu) A ⊂ B Aù¹3B• eAu),KBò½u);ØáA%ºØáB A = B AÜBÉ AÜBè”òØá;ßÇ”ûu)½”ûÿu) A ∩ B½AB 8 L´AÜB”ûu) AB = φ ÿÉ AÜBÿÉN(p½),ßÇÿåU”ûu) A ∪ B ø8 L´A½Bu),AÜB•ñkòáu) Ac {8 È·Øá;Acu)L´Aÿu) A − B½ABc 8 L´Au), Bÿu) A4B È° L´AÜB•Tkòáu) lim sup n→∞ An = T∞ k=1 S∞ n=k An ˛4Å8‹ L´ØáS{An}•kðıáØáu) lim inf n→∞ An = S∞ k=1 T∞ n=k An e4Å8‹ L´S{An}•ñıkkÅáØáÿu) 3