第三章 随机变量的数字特征 3.1数学期望及分位数 3.1.1数学期望 数学期望是随机变量的一个最基本的数字特征。我们先看如下的一个例子 例3.1.1.一个石油公司在一个钻探项目中所使用的钻头持续工作2,3,4小时的可能性为0.1， 0.T和0.2。现该公司有10个此类型的钻头，则此钻探项目可以持续多长时间？ 解：人们一般使用加权平均 2.0.1+3.0.7+4.0.2=3.1 然后得到可以持续10.3.1=31小时。 这里的加权平均我们称为期望值或者如下随机变量的数学期望： 34 P0.10.70.2 对一般的离散型分布，我们有 定义3.1.1.设X为一离散型随机变量，其分布律为 P(X=x)=P,i=1,2,… 如果2，m<+o,则称 i=1 p i=1 为随机变量X的数学期望（简称为期望或者均值，用符号EX表示X的数学期望。若km:= +∞，则称X的数学期望不存在
1nŸ ëÅC˛ÍiA 3.1 ÍÆœ"9©†Í 3.1.1 ÍÆœ" ÍÆœ"¥ëÅC˛òáŃ ÍiA"·ÇkwXeòá~f ~3.1.1. òáúh˙i3òá}&ë8•§¶^}fi±YÛä2ß3ß4ûåU5è0.1, 0.7⁄0.2"yT˙ik10áda.}fißKd}&ë8å±±Yıûmº ): <ÇòѶ^\²˛ 2 · 0.1 + 3 · 0.7 + 4 · 0.2 = 3.1 ,å±±Y10 · 3.1 = 31û" ˘p\²˛·Ç°èœ"佈XeëÅC˛ÍÆœ"µ X 2 3 4 P 0.1 0.7 0.2 ÈòÑl—.©Ÿß·Çk ½¬ 3.1.1. Xèòl—.ëÅC˛ßŸ©ŸÆè P(X = xi) = pi , i = 1, 2, · · · XJ P∞ i=1 |xi |pi < +∞ßK° X∞ i=1 xipi èëÅC˛XÍÆœ"({°èœ"½ˆ˛ä), ^Œ“EXL´XÍÆœ""e P∞ i=1 |xi |pi = +∞ßK°XÍÆœ"ÿ3" 1
例3.1.2.设r.v.X的分布律为 r(x=←)==12 则X的数学期望不存在。 解：由于 立-装安- 因此X的数学期望不存在。而尽管 k=1 对连续型随机变量，其数学期望的定义如下 定义3.1.2.如果连续型随机变量具有密度函数(x),则当 广te< 时，我们将积分 o xp(x)dx 的值称为的数学期望，记作E.如果 oo xp(x)dx=oo, 则称ξ的数学期望不存在. 例3.1.3.(Cauchy分布)设 1 l四=1+：xeR, 则：该分布的期望不存在 解：容易看出，p(x)非负，并且 所以p(x)是一个密度函数（称为Cauchy分布），但是 所以Cauchy分布的期望不存在.# 一般，我们把上述两个定义写在一起： 2
~3.1.2. r.v. X©ŸÆè P X = (−1)k 2 k k = 1 2 k , k = 1, 2, · · · KXÍÆœ"ÿ3" ): du X∞ k=1 |(−1)k 2 k k | 1 2 k = X∞ k=1 1 k = +∞ œdXÍÆœ"ÿ3" ¶+ X∞ k=1 (−1)k 2 k k 1 2 k = X∞ k=1 (−1)k 1 k = −ln2. ÈÎY.ëÅC˛ßŸÍÆœ"½¬Xe ½¬ 3.1.2. XJÎY.ëÅC˛ξ‰kó›ºÍp(x), K Z ∞ −∞ |x|p(x)dx < ∞ û, ·ÇÚ»© Z ∞ −∞ xp(x)dx ä°èξÍÆœ", PäEξ. XJ Z ∞ −∞ |x|p(x)dx = ∞, K°ξÍÆœ"ÿ3. ~3.1.3. (Cauchy©Ÿ) p(x) = 1 π(1 + x 2) , x ∈ R, K: T©Ÿœ"ÿ3. ):N¥w—,p(x)öK, øÖ Z ∞ −∞ p(x)dx = 1 π Z ∞ −∞ 1 1 + x 2 dx = 1 π arctan x ∞ −∞ = 1, §±p(x)¥òáó›ºÍ(°èCauchy©Ÿ), ¥ Z ∞ −∞ |x|p(x)dx = 2 π Z ∞ 0 x 1 + x 2 dx = ∞, §±Cauchy©Ÿœ"ÿ3. # òÑß·Çr˛„¸á½¬3òµ 2
定义3.1.3.设为一随机变量，其分布函数为F(),如果∫1zdF()<oo,则称 xdF(x) 为随机变量的数学期望，记为E。 数学期望的一般性质如下 假设c为常数，并且下面涉及的期望都是存在的。我们有 1.Ec=c 2.EcE=cEξ 3.E(ξ+n)=EE+Em 4.若ξ≥0，则Eξ≥0 5.若ξ≥，则Eξ≥Em: 6.设g(x)为一Borl可测函数（包括了连续函数、阶梯函数等），则 Eg()= g(x)dF(x) 性质6说明了计算随机变量函数的期望直接从原来的随机变量分布出发. 例3.1.4.设r.v.XN(0,1),求Y=X2+1的数学期望。 例3.1.5.飞机场载客汽车上有20位乘客，离开机场后共有10个车站可以下车，若某个车站没有人 下车则该车站不停车。设乘客在每个车站下车的可能性相等，以X表示停车的次数，求EX。 解：设 1 第i个车站有人下车 Yi= 0 i=1,…,20. 第i个车站无人下车 20 则显然X= Y,所以 1 20 20 EX EY=P(第i个车站有人下车) i 20 1-0.920=8.784 i-l 3
½¬ 3.1.3. ξèòëÅC˛ßŸ©ŸºÍèF(x)ßXJ R +∞ −∞ |x|dF(x) < ∞ßK° Z +∞ −∞ xdF(x) èëÅC˛ξÍÆœ"ßPèEξ" ÍÆœ"òÑ5üXe bcè~Í, øÖe°9œ"—¥3"·Çk 1. Ec = c 2. Ecξ = cEξ 3. E(ξ + η) = Eξ + Eη 4. eξ ≥ 0ßKEξ ≥ 0 5. eξ ≥ ηßKEξ ≥ Eη. 6. g(x)èòBorelåˇºÍ(ù) ÎYºÍ! FºÍ )ßK Eg(ξ) = Z ∞ −∞ g(x)dFξ(x) 5ü6`² OéëÅC˛ºÍœ"Ül5ëÅC˛©Ÿ—u. ~3.1.4. r.v. X ∼ N(0, 1)߶Y = X2 + 1ÍÆœ"" ~3.1.5. úÅ|1êðê˛k20†¶êßlmÅ|k10áê’å±eêße,áê’vk< eêKTê’ÿ ê"¶ê3záê’eêåU5É ß±XL´ êgÍ߶EX" ): Yi = ( 1, 1 i áê’k<eê 0, 1 i áê’Ã<eê i = 1, · · · , 20. Kw,X = P 20 i=1 Yiߧ± EX = X 20 i=1 EYi = X 20 i=1 P(1 i áê’k<eê) = X 20 i=1 [1 − 0.9 20] = 8.784. 3
定理3.1.1.如果和η是定义在同一个概率空间上的相互独立的随机变量，它们的数学期望都存 在，则它们的乘积)的数学期望也存在，并且有 EEn=EEEn. 3.1.2 条件期望 我们知道条件分布也是一个概率分布，因此类似数学期望的定义，我们可以定义条件期望。 定义3.1.4.设m.w.X在r.v.Y=y的条件下的条件分布为F(xY=)。则当lzdF(Y=)< 0时，我们称 E(xir -)f"rdr(air 为随机变量X在给定条件Y=y下的条件期望。 期望所具有的性质条件期望同样满足。 例3.1.6.设(X,Y)~M(N,p1,p2),试计算E(XY=) 解：由于XY=k~B(N-k,P),所以由二项分布的性质知E(XY=)=(N-)2 定理3.1.2.设X,Y为两个随机变量，9(X)为可积的随机变量。则有 Eg(X)=EE[g(XY]} 全期望公式1 Poof.我们仅在连续型随机变量的情形下证明此定理。设Y的p.d.f为p(y),XY=y的p.d.f为q(xly)。 则 Eg(X)= g(x)q(xly)p(y)drdy g(x)q(xly)dxp(y)dy= Elg(X)Y =yp(y)dy 00 E(E[g(X)Y]} 口 例3.1.7.一窃贼被关在有3个门的地牢里，其中第一个门通向自由。出这门走3个小时便可以回到 地面：第2个门通向另一个地道，走5个小时将返回到地牢：第3个门通向更长的地道，走7个小时 也回到地牢。若窃贼每次选择3个门的可能性总相同，求他为获得自由而奔走的平均时间。 4
½n 3.1.1. XJξ⁄η¥½¬3”òáV«òm˛Ép’·ëÅC˛, ßÇÍÆœ"— 3, KßǶ»ξηÍÆœ"è3, øÖk Eξη = EξEη. 3.1.2 ^áœ" ·Ç^á©Ÿè¥òáV«©ŸßœdaqÍÆœ"½¬ß·Çå±½¬^áœ"" ½¬ 3.1.4. r.v. X3r.v. Y = y^áe^á©ŸèF(x|Y = y)"K R ∞ −∞ |x|dF(x|Y = y) < ∞ûß·Ç° E(X|Y = y) = Z ∞ −∞ xdF(x|Y = y) èëÅC˛X3â½^áY = ye^áœ"" œ"§‰k5ü^áœ"”˜v" ~3.1.6. (X, Y ) ∼ M(N, p1, p2)ߣOéE(X|Y = k)" )µduX|Y = k ∼ B(N − k, p1 1−p2 ), §±dë©Ÿ5üE(X|Y = k) = (N − k) p1 1−p2 . ½n 3.1.2. X, Y è¸áëÅC˛ßg(X)èå»ëÅC˛"Kk Eg(X) = E{E[g(X)|Y ]} [ œ"˙™] Proof. ·Ç=3ÎY.ëÅC˛ú/ey²d½n"Y p.d.f èp(y)ßX|Y = yp.d.fèq(x|y)" K Eg(X) = Z Z ∞ −∞ g(x)q(x|y)p(y)dxdy = Z Z ∞ −∞ g(x)q(x|y)dxp(y)dy = Z ∞ −∞ E[g(X)|Y = y]p(y)dy = E{E[g(X)|Y ]} ~3.1.7. òáM'3k3áÄ/Opߟ•1òáÄœïgd"—˘Är3áûBå±£ /°¶12áÄœï,òá/ßr5áûÚà£/O¶13áÄœïç/ßr7áû è£/O"eáMzg¿J3áÄåU5oɔ߶¶èºgd r²˛ûm" 4
解：设这个窃贼需要走X小时才能到达地面，并设Y代表他每次对3个门的选择情况，Y各 以1/3的概率取值1,2,3。则 3 EX=EE(XIY)】=∑E(XIY=)P(Y=) i=1 注意到E(XY=1)=3,E(XY=2)=5+EX,E(XY=3)=7+EX,所以 EX=33+5+EX+7+EX 即得到EX=15. 3.1.3分位数和p分位数 我们已经知道，随机变量的数学期望就是它的平均值，因此从一定意义上，数学期望刻画 了随机变量所取之值的”中心位置”。但是，我们也可以用别的数字特征来刻画随机变量的“中心 位置”。中位数就是这样一种数字特征。在不存在数学期望的随机变量，这种刻画工具显得尤为 重要，即使对于存在数学期望的随机变量，中位数也是一种相当有用的数字特征。 定义3.1.5.称μ为随机变量的中位数，如果 PE≤)≥行PE≥A-司 例3.1.8.设r.U.~B(1,),求的中位数。 解：由于的分布函数为 0, x≤0 F(x)= 0<x<1 1, x≥1 由中位数的定义知区间(0,1)内的每一个数都是的中位数。 定义3.1.6.设0<p<1,称p是随机变量的p分位数，如果 P(ξ≤p)≥p,P(ξ≥p)≥1-p 3.2方差、协方差和矩 3.2.1随机变量的矩与方差 除了期望外，如果随机变量为r次可积时，我们还可以考虑E”及E一E'。分别称为随机 变量的阶原点矩和中心矩。定义如下 5
)µ˘ááMIárXû‚Uà/°ßøY ìL¶zgÈ3áÄ¿Jú¹ßY à ±1/3V«ä1ß2ß3"K EX = E[E(X|Y )] = X 3 i=1 E(X|Y = i)P(Y = i) 5øE(X|Y = 1) = 3, E(X|Y = 2) = 5 + EX, E(X|Y = 3) = 7 + EXߧ± EX = 1 3 [3 + 5 + EX + 7 + EX] =EX = 15" 3.1.3 ©†Í⁄p©†Í ·ÇƲßëÅC˛ξÍÆœ"“¥ß²˛äßœdlò½ø¬˛ßÍÆœ"èx ëÅC˛§É䔕%†ò”"¥ß·Çèå±^OÍiA5èxëÅC˛/•% †ò0"•†Í“¥˘ò´ÍiA"3ÿ3ÍÆœ"ëÅC˛ß˘´èxÛ‰wcè áß=¶Èu3ÍÆœ"ëÅC˛ß•†Íè¥ò´Ék^ÍiA" ½¬ 3.1.5. °µèëÅC˛ξ•†ÍßXJ P(ξ ≤ µ) ≥ 1 2 , P(ξ ≥ µ) = 1 2 . ~3.1.8. r.v. ξ ∼ B(1, 1 2 )ß¶ξ•†Í" )µduξ©ŸºÍè F(x) = 0, x ≤ 0 1 2 , 0 < x < 1 1, x ≥ 1 d•†Í½¬´m(0,1)SzòáÍ—¥ξ•†Í" ½¬ 3.1.6. 0 < p < 1ß°µp¥ëÅC˛ξp©†ÍßXJ P(ξ ≤ µp) ≥ p, P(ξ ≥ µp) ≥ 1 − p. 3.2 ê !ê ⁄› 3.2.1 ëÅC˛›Üê ÿ œ" ßXJëÅC˛ξèrgå»ûß·ÇÑ屃Eξr9E|ξ − Eξ| r"©O°èëÅ C˛ξr :›⁄•%›"½¬Xe 5