2.5.2 连续型随机变量的情形 定理1.密度变换公式]设随机变量X有概率密度函数∫(x),x∈ (a,b)(a,b可以为o,而y=g(x)在x∈(a,b)上是严格单调的连 续函数，存在唯一的反函数x=h(),y∈（α，）并且'(y)存在且 连续，那么Y=9(X)也是连续型随机变量且有概率密度函数 p(y)=f(h(y))h'(y)l,y(a,B). Previous Next First Last Back Forward 5
2.5.2 连续型随机变量的情形 定理 1. [密度变换公式] 设随机变量 X 有概率密度函数 f(x), x ∈ (a, b)(a, b 可以为 ∞), 而 y = g(x) 在 x ∈ (a, b) 上是严格单调的连 续函数，存在唯一的反函数 x = h(y), y ∈ (α, β) 并且 h ′ (y) 存在且 连续，那么 Y = g(X) 也是连续型随机变量且有概率密度函数 p(y) = f(h(y))|h ′ (y)|, y ∈ (α, β). Previous Next First Last Back Forward 5
设随机变量X~U(-,),求Y=tgX的概率密度函数。 TExample ↓Example 解： Previous Next First Last Back Forward 6
↑Example 设随机变量 X ∼ U(− π 2 , π 2 ), 求 Y = tgX 的概率密度函数。 ↓Example 解: 由于函数 g(x) = tg(x) = y 为单调可微函数，其反函数 x = arctg(y) 连续可微，因此由密度变换公式知 Y 的概率密度函数为 f(y) = 1 π arctg′ (y) = 1 π(1 + y 2) , −∞ < y < ∞ 此分布称为 Cauchy 分布。本题我们也可以用一般的方法求解，即先 求出分布函数，然后对分布函数求导数得到。 F(y) = P(Y ≤ y) = P(tg(X) ≤ y) = P(X ≤ arctg(y)) = ∫ arctg(y) − π 2 1 π dy = 1 π arctg(y) + 1 2 . 所以 Y 的概率密度为 f(y) = F ′ (y) = 1 π(1 + y 2) . Previous Next First Last Back Forward 6
这种方法更具有一般性。 注：当g不是在全区间上单调而是逐段单调时，密度变换公式为 下面的形式： 设随机变量ξ的密度函数为p(x),a<x<b.如果可 以把(a,b)分割为一些（有限个或可列个）互不重叠的子 区间的和(a,b)=U,I,使得函数u=g(),t∈(a,b) 在每个子区间上有唯一的反函数h(u),并且h,(u)存 在连续，则？=g()是连续型随机变量，其密度函数为： pm()=∑p(h,(训b(e Previous Next First Last Back Forward
这种方法更具有一般性。 注: 当 g 不是在全区间上单调而是逐段单调时，密度变换公式为 下面的形式: 设随机变量 ξ 的密度函数为 pξ(x), a < x < b. 如果可 以把 (a, b) 分割为一些 (有限个或可列个) 互不重叠的子 区间的和 (a, b) = ∪ j Ij , 使得函数 u = g(t), t ∈ (a, b) 在每个子区间上有唯一的反函数 hj (u), 并且 h ′ j (u) 存 在连续, 则 η = g(ξ) 是连续型随机变量, 其密度函数为: pη(x) = ∑ j pξ(hj (x))|h ′ j (x)| . Previous Next First Last Back Forward 7
设X~N(0,1),求Y=X2的概率密度。 TExample ↓Example 解： Previous Next First Last Back Forward f
↑Example 设 X ∼ N(0, 1)，求 Y = X 2 的概率密度。 ↓Example 解: 由于函数 y = x 2 在 (−∞, 0) 和 [0, ∞) 上严格单调，因此由上述 定理知 Y 的概率密度为 f(y) = ϕ(− √ y)| − √ y ′ |I{y>0} + ϕ( √ y)| √ y ′ |I{y>0} = 1 √ 2π y − 1 2 e − y 2 I{y>0} Previous Next First Last Back Forward 8
定理2.设(51,2)是2维连续型随机向量，具有联合密度函数 p(x1,x2),设S=(51,2),j=1,2.若(51,2)与(G1,2)一一对 应，逆映射5=h(G,2),j=1,2.假定每个h(1,2)都有一阶连 续偏导数.则(G,2)亦为连续型随机向量，且其联合概率密度为 p(h(h,),hn(1,2)J八，(，2）∈D, (2.1) 0, (12)年D, 其中D是随机向量(G1,G2)的所有可能值的集合，J是变换的Jaccobi 行列式，即 8h1 8h1 0y1 0y2 8h2 8h2 8y1 y2 Previous Next First Last Back Forward 9
定理 2. 设 (ξ1, ξ2) 是 2 维连续型随机向量, 具有联合密度函数 p(x1, x2), 设 ζj = fj (ξ1, ξ2), j = 1, 2. 若 (ξ1, ξ2) 与 (ζ1, ζ2) 一一对 应, 逆映射 ξj = hj (ζ1, ζ2), j = 1, 2. 假定每个 hj (y1, y2) 都有一阶连 续偏导数. 则 (ζ1, ζ2) 亦为连续型随机向量, 且其联合概率密度为 q(y1, y2) = { p (h1(y1, y2), hn(y1, y2))|J|, (y1, y2) ∈ D, 0, (y1, y2) ̸∈ D, (2.1) 其中 D 是随机向量 (ζ1, ζ2) 的所有可能值的集合, J 是变换的 Jaccobi 行列式，即 J = ∂h1 ∂y1 ∂h1 ∂y2 ∂h2 ∂y1 ∂h2 ∂y2 Previous Next First Last Back Forward 9