引理1.如果ξ为退化于0的随机变量，则有E2=0:反之，如果 随机变量的2阶矩存在而且E2=0,则E必为退化于0的随机 变量. Previous Next First Last Back Forward 5
引理 1. 如果 ξ 为退化于 0 的随机变量，则有 Eξ2 = 0；反之，如果 随机变量 ξ 的 2 阶矩存在而且 Eξ2 = 0，则 ξ 必为退化于 0 的随机 变量. Proof. 如果 ξ 为退化于 0 的随机变量，则有 P(ξ = 0) = 1, 故有 Eξ2 = 0。反之，如果随机变量 ξ 平方可积，并且 Eξ2 = 0，但是 ξ 不退化于 0，则有 P(ξ = 0) < 1。那么就存在 δ > 0 和 0 < ϵ < 1， 使得 P(|ξ| > δ) > ϵ，于是 Eξ2 > δ2 ϵ。导致矛盾，所以 ξ 必退化到 0. Previous Next First Last Back Forward 5
常见分布的方差： 1.二项分布X~B(m,p: Var(X)=np(1-p) 2.Poisson分布X~P(A): Var(X)=λ 3.均匀分布X~U[a,: Var(X)=(-a) 12 4.指数分布X~Exp(A): Var(X)=1/X2 5.正态分布X~N(4,σ2) Var(X)=a2 Previous Next First Last Back Forward 6
常见分布的方差： 1. 二项分布 X ∼ B(n, p): V ar(X) = np(1 − p) 2. Poisson 分布 X ∼ P(λ): V ar(X) = λ 3. 均匀分布 X ∼ U[a, b]: V ar(X) = (b − a) 2 12 4. 指数分布 X ∼ Exp(λ): V ar(X) = 1/λ 2 5. 正态分布 X ∼ N(µ, σ2 ): V ar(X) = σ 2 Previous Next First Last Back Forward 6
我们称 x*= X-EX VVar(X) Definition 为X的标准化随机变量.易见EX*=0,Var(X*)=1. 我们引入标准化随机变量是为了消除由于计量单位的不同而给随 机变量带来的影响.例如，我们考察人的身高，那么当然可以以米为单 位，得到X1,也可以以厘米为单位，得到X2.于是就有得到X2= 100X1.那么这样一来X2与X1的分布就有所不同.这当然是一个 不合理的现象.但是通过标准化，就可以消除两者之间的差别，因为我 们有X=X.对于正态分布，我们经过标准化Y=(X-)/o,就 可以得出均值为0方差为1的正态分布，即标准正态分布 Previous Next First Last Back Forward
我们称 X ∗ = X − EX √ V ar(X) 为 X 的标准化随机变量. 易见 EX∗ = 0, V ar(X ∗ ) = 1. Definition 我们引入标准化随机变量是为了消除由于计量单位的不同而给随 机变量带来的影响. 例如, 我们考察人的身高, 那么当然可以以米为单 位, 得到 X1, 也可以以厘米为单位, 得到 X2. 于是就有得到 X2 = 100X1. 那么这样一来, X2 与 X1 的分布就有所不同. 这当然是一个 不合理的现象. 但是通过标准化, 就可以消除两者之间的差别, 因为我 们有 X ∗ 2 = X ∗ 1 . 对于正态分布, 我们经过标准化 Y = (X − µ)/σ, 就 可以得出均值为 0 方差为 1 的正态分布, 即标准正态分布. Previous Next First Last Back Forward 7
3.2.2矩 下面我们引入矩(Moments)的概念，并将之与我们前面所说的 期望、方差建立联系. 设X为随机变量，c为常数，r为正整数，则E[(X-c)门 Definition 称为X关于c点的r阶矩. 比较重要的有两个情况： 1.c=0.这时ak=EXr称为X的r阶原点矩 2.c=EX.这时k=E[(X-EX)]称为X的r阶中心矩 容易看出，一阶原点矩就是期望，二阶中心矩就是X的方差Var(X). Previous Next First Last Back Forward 8
3.2.2 矩 下面我们引入矩 (Moments) 的概念，并将之与我们前面所说的 期望、方差建立联系. 设 X 为随机变量, c 为常数, r 为正整数, 则 E[(X − c) r ] 称为 X 关于 c 点的 r 阶矩. Definition 比较重要的有两个情况: 1. c = 0. 这时 αk = EXr 称为 X 的 r 阶原点矩. 2. c = EX. 这时 µk = E[(X − EX) r ] 称为 X 的 r 阶中心矩. 容易看出, 一阶原点矩就是期望, 二阶中心矩就是 X 的方差 V ar(X). Previous Next First Last Back Forward 8