《量子力学》第三章 量子力学中的力学量（3.3）电子在库仑场中的运动

§3.3电子在库仑场中的运动 背景:H原子,类氢原子(如H,L,z>1), 将e+核的相互作用及动能,分为二体质心平动 和电子与核的相对运动,即核静止而电子绕核 运动,为折合质量 1.能量本征方程 体系的哈密顿算符=2 Ze V 2 其中拉普拉斯算符V2在球坐标下可表示为 10,0 10 10 sin e Or ar r-sin0 a0 06 Sin 0 do

§3.3 电子在库仑场中的运动 背景：H原子，类氢原子（如 ）， 将e+核的相互作用及动能，分为二体质心平动 和电子与核的相对运动，即核静止而电子绕核 运动， 为折合质量 1.能量本征方程 体系的哈密顿算符 其中拉普拉斯算符 在球坐标下可表示为 , , 1 H L Z e i +   2 2 2 ˆ (1) 2 Zes H  r = −  − 2  2 2 2 2 2 1 1 1 sin (2) sin sin r r r r r r               = + +         

h (2) 2,可将第一项看作径向动能,二三项看作 角向动能 h20 2 0T,22 h20,0 T 2ur- Or( ar r2ar、O 10 10 sin e 2ur- sin 0 80 00)sin2622 li 而势能0(0)=仅与有关,与无关,提示 (1)可将第一项+U()与二、三项分离变量,(回忆 数理方程,若v(x,y,=)=v1(x)v2(y)v3(=)则 (可分离)E=E+E1+E(2)能量本征态可能与 ,9无关,对于O,的不同状态,能量简并

2 (2) 2  − ，可将第一项看作径向动能，二三项看作 角向动能。 而势能 仅与 有关，与 无关，提示 （1）可将第一项+ 与二、三项分离变量，（回忆 数理方程，若 则 （可分离） （2）能量本征态可能与 无关，对于 的不同状态，能量简并。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , (3) 2 2 1 1 sin (4) 2 sin 2 sin r r r r P T r T P r r r r r r r l T r r                    = − = = −                    = − + =            ( ) 2 Zes U r r = − r  , U r( )     ( x y z x y z , , ) = 1 2 3 ( ) ( ) ( ) E E E E = + + 1 2 3  ,  

能量本征方程: h20 oX 2W Ze y=Ey (5) 2ur2or、or)2 2.分离变量 设v(r,O,9)=R(r)Y(,q)(6) 理由:方中有L2,U()与9无关 将(6)代入(5)式,并 2R()Y(,q)移项得 人 d(o d our E+ R dr dr h 110 102Y sin e yI sin a0 80/sin20 a0

能量本征方程： 2.分离变量 设 理由： 中有 ， 与 无关 将（6）代入（5）式，并 移项得 2 2 2 2 2 2 (5) 2 2 Zes l r E r r r r r             − + − − =                (r R r Y , , , (6) ) = ( ) ( ) H ˆ 2 L U r( )  , ( ) ( ) 2 2 1 , 2 R r Y r     − 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 sin (7) sin sin d d r Zes r E R dr dr r Y Y Y              + +              = − +           

(7)式左边=的函数,右边=()的函数,二者相 等,仅当同等于常数时才成立: 左=,再2,得 2E+ R=0(8) dr 右=,X-Y得 aY 10Y sin e Y(9) sine ae a0 Sin d0 (9)式×一h2,即为上节的角动量平方算符的本 征值方程,而(8)式则称为径向方程

（7）式左边=r的函数，右边= 的函数，二者相 等，仅当同等于常数时才成立： 左= ，再 ，得: 右= ， 得: （9）式 ，即为上节的角动量平方算符的本 征值方程，而(8)式则称为径向方程。 ( , )  2 1 r  2 2 2 2 2 1 2 0 (8) d d Zes r E R r r dr dr r           + + − =            X Y− 2 2 2 1 1 sin (9) sin sin Y Y  Y             + = −      2  −

由上节知x=1(1+1),l=02…(10 (10)代入径向方程: d d h 2 Ze2)1(1+1 E+ R=0(11) dr 当E>0,任意E都可使上式成立,波函数条件成 立,体系能量又连续谱。 E<0,E有分立谱(束缚态)时波函数条件才成 3化简方程(E<0) (1)方程第一项可写为 1 d(rR 验证

由上节知 （10）代入径向方程： 当 ，任意 都可使上式成立，波函数条件成 立，体系能量又连续谱。 当 ， 有分立谱（束缚态）时波函数条件才成 立。 3.化简方程 （1）方程第一项可写为 ，验证：  = + = l l l ( 1 , 0,1,2, (10) ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 0 (11) s d d Ze l l r E R r r dr dr r        +   + + − =           E  0 E E  0 E (E  0) ( ) 2 2 2 1 d rR r dr