§3.2动量算符和角动量算符 、动量算符 1、动量算符的本征值方程 -ivY(r)=py(r) p是动量算符的本征值, 函数 必是属于此本征值的本征 V,(F)=PV2() 分量式: 边ihv2(F)=P,D(F) 大功W2()PW()家
一、动量算符 １、动量算符的本征值方程 是动量算符的本征值， 是属于此本征值的本征 函数。 分量式： §3.2 动量算符和角动量算符 p ( ) ( ) (1) p p − = i r p r ( ) p r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p x p p y p p z p i r p r x i r p r y i r p r z − = − = − =
它们的解是vn()=Cexp(p·f) 本征值(p,pD,p)→>p可取所有实数,构成连续谱 2、动量本征函数的归一化 Vn(r)=Cexp(p·F)求归一化常数C? 计算积分:」vGw()dr +0+0+0 ∫∫∫ oo ay exp (px-Px)x+(py-Py)y+(p:-pi)zdrdydz h 广=(2-2x=27加8(2)其中(P-P 是以-P为宗量的6函数
它们的解是 本征值 可取所有实数，构成连续谱。 ２、动量本征函数的归一化 ( ) exp( ) p i r C p r = (2) ( , , ) x y z p p p p → ( ) exp( ) p i r C p r = 求归一化常数 C ？ 2 ( ) ( ) exp ( ) ( ) ( ) p p x x y y z z r r d i C p p x p p y p p z dxdydz + + + − − − = − + − + − exp ( ) 2 ( ), ( ) x x x x x x x x i p p x dx p p p p p p − = − − − ＋ － 其中 是以 为宗量的 函数。 计算积分：
(ry(rdt =(2mh)CS(P3-P3)6(P,-P,)6(P2-P2) C(2Thd(p-p) 如果取C2 则动量本征函数归一化到d函 数。 (2nh) 即Jv((rx=(p-p) 其中V2() exp(p·F) 2丌h) h 为什么W2()不能归一化为1,而是归一化为O函数: 这是由于动量本征值可以取连续值,P的各分量可取任 意实数,动量本征值构成连续谱
如果取 ，则动量本征函数归一化到 函 数。 3 2 2 3 ( ) ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( ) p p x x y y z z r r d C p p p p p p C p p = − − − = − 2 3 1 (2 ) C = 即 3 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) exp( ) (2 ) p p p r r d p p i r p r = − = (3) 其中 (4) 为什么 不能归一化为1，而是归一化为 函数： 这是由于动量本征值可以取连续值， 的各分量可取任 意实数，动量本征值构成连续谱。 ( ) p r p
3、动量木征值的分立化箱归一化 设想将粒子限制在一个边长为L的正方形箱中,取 箱中心为坐标原点。引入周期性边界条件:要求波函数 在两各相对的箱壁上的对应点有同值,即 y(-,y,)=(,yz) 2 Cexp=(pL+p,y+ps3 -cd L(,+Pyy+ p:z)(5) 九2 或exp(p,L)=1 P、L∠2n1n,n1=0,±1,±2,±3…(6) 这样P只能取分立值: 2 Px =nx n12=0,±1,±2…(7)
３、动量本征值的分立化：箱归一化 设想将粒子限制在一个边长为L的正方形箱中，取 箱中心为坐标原点。引入周期性边界条件：要求波函数 在两各相对的箱壁上的对应点有同值，即 ( , , ) ( , , ) 2 2 1 1 exp ( ) exp ( ) 2 2 exp ( ) 1 2 , 0, 1, 2, 3 x y z x y z x x x x L L y z y z i i C p L p y p z C p L p y p z i p L p L n n − = − + + = + + = = = (5) 或 (6) 这样 只能取分立值： 2 0, 1, 2, (7) x x x p n n L = = px
同理,根据周期性条件V(4,、 ,一,z)=(x,,z)和 V(x,y,-)=V(x,y,2)可得到 2 n.=0.±1±2 2 n.=0.±1±2 L 2h 2 2 相邻两个分立值的差:△D △P L 当L→∞时,△p1→>,△p,→>如,△p→l,分立 值一>连续谱
同理，根据周期性条件 和 ( , , ) ( , , ) 可得到 2 2 L L x y x y − = ( , , ) ( , , ) 2 2 L L x z x z − = 2 0, 1, 2, 2 0, 1, 2, (9) y y y z z z p n n L p n n L = = = = , (8) , 相邻两个分立值的差： 当 时， 分立 值 连续谱。 2 2 2 , , x y z p p p L L L = = = , , , x x y y z z L → p dp p dp p dp → → →