第三章。量子力学中的力学量 经典粒子可用坐标和动量来描写状态,任何 状态下,力学量都有确定值。 微观粒子:坐标和动量不能同时有确定值所 以状态用波函数表示,力学量用算符表示
第三章 量子力学中的力学量 经典粒子：可用坐标和动量来描写状态，任何 状态下，力学量都有确定值。 微观粒子：坐标和动量不能同时有确定值，所 以状态用波函数表示，力学量用算符表示
§3.1表示力学量的算符 算符 1、算符是指作用在一函数上得出另一函数的运算符号 Fv=1,F称为算符(1) 如x=v,表示x与u相乘得函数v。又如 dx 则F d ⅴ2u=ν,算符F=V2,等等 dx 设波函数v经算符F作用后变为v2,则粒子状态 由态变为v态
§3.1 表示力学量的算符 一、算符 １、算符是指作用在一函数上得出另一函数的运算符号。 Fu v ˆ = ，F ˆ称为算符 (1) ˆ ˆ , ˆ du xu v x u v v dx d F u v F dx F = = = = = 2 2 １ ２ １ ２ 如 ，表示 与 相乘得函数 。又如 ， 则 ， 算符 ，等等。 设波函数 经算符 作用后变为 ，则粒子状态 由 态变为 态
2、算符的本征值方程 如果一个算符F作用于一个函数v,结果等于v乘 上一个常数, Fv=元 (2) 则称为F的本征值,v为属于的本征函数。上式(2)称 为算符F的本征值方程。 如定态薛定谔方程H=Ev,是哈密顿算符H的本征 值方程,E为本征值 举例:无限深势阱,一维线形谐振子
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F F F F H E H E = = 如果一个算符 作用于一个函数 ，结果等于 乘 上一个常数， （2） 则称 为 的本征值， 为属于 的本征函数。上式(2)称 为算符 的本征值方程。 如定态薛定谔方程 ，是哈密顿算符 的本征 值方程， 为本征值。 举例：无限深势阱，一维线形谐振子。 ２、算符的本征值方程
3、算符的例子 <1>动量算符:p=-iV 分量式:P2=-ih ax 02 动量算符p表示动量这个力学量 <2>坐标算符:r=F <3>哈密顿算符:H=-2Hp+U(),将p→=-V V2+U(7) 经典的哈密顿函数:H=7+V 2=-h2v2代入中 方2 H V2+U/(F)
３、算符的例子 <1> 动量算符： 分量式： 动量算符 表示动量这个力学量。 <2> 坐标算符： <3> 哈密顿算符： 经典的哈密顿函数： ，将 代入 中： p i ˆ = − (3) ˆ ˆ , ˆ x y z p i p i p i x y z = − = − = − , ˆ r r = (4) 2 2 ˆ ( ) (5) 2 H U r = − + ˆ p 2 ( ) 2 p H T V U r = + = + p p i → = − ˆ 2 2 2 ˆ p = − H ˆ 2 2 ˆ ( ) 2 H U r = − +
<4>量子力学中力学量用算符表示的规则: 如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相 应的力学量的算符F由经典表示式F(GF,p)中将p换为 算符p而得出: F=F(r,P=F(r,-inV 例如,角动量算符 L=F×p x y 量子力学中的角动量算符: Ox av az L=F×p=-ih×V(7)
<4> 量子力学中力学量用算符表示的规则： 如果量子力学中的力学量 在经典力学中有相 应的力学量的算符 由经典表示式 中将 换为 算符 而得出： ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F F r p F r i = = − ( , ) ( , ) (6) F ˆ F ˆ F r p ( , ) p ˆ p 例如，角动量算符： L r p = ˆ L r p i r = = − ˆ ˆ (7) ˆ i j k L i x y z x y z = − 量子力学中的角动量算符：