§3.6算符与力学量的关系 根据数学物理方法中的证明,如果有一族函数 构成正交归一完全系,则任意函数都可以用{}来展 开为级数(广义傅里叶级数)。如果函数系{}不 构成分立的集合,则可以展开为傅里叶积分。 如果函数系{ sin mx,( cos mx},{emn} 和 n=0.±1 {m(Q、o)}{Hn(ax),{n(x)}…都是正交归一完全系
§3.6 算符与力学量的关系 根据数学物理方法中的证明，如果有一族函数 构成正交归一完全系，则任意函数都可以用 来展 开为级数（广义傅里叶级数）。如果函数系 不 构成分立的集合，则可以展开为傅里叶积分。 如果函数系 和 都是正交归一完全系。 i 0, 1 sin , cos , im m mx mx e = Y H x J x lm n n ( , , , ) ( ) ( )
、波函数按厄密算符的本征函数系展开 1分立谱 如果F是满足一定条件的厄密算符,它的正交归 本征函数系{(x)对应的本征值为{4,2…1…} 则任一函数v(x)可以按{(x) 展开为级数: vn(x)=∑Cn(x)(1 其中Cn与x无关。本征函数的这种性质称未完全性 (完备性),或说{(x)组成完全系 用(x)×Q)积分,可得系数Cn
一、波函数按厄密算符的本征函数系展开 1.分立谱 如果 是满足一定条件的厄密算符，它的正交归一 本征函数系 对应的本征值为 则任一函数 可以按 展开为级数： 其中 与 无关。本征函数的这种性质称未完全性 （完备性），或说 组成完全系。 用 积分，可得系数 ： F n ( x) 1 2 , , n ( x) n ( x) ( ) ( ) (1) n n n n x C x = Cn x n ( x) ( ) (1) m x Cn
jc(y=∑CJ(顺=∑Cm=C 即Cn=∫(xM()Cn一般为复数不含x 设v(x)已归一化,则Cn的模方之和为1 1=v(1/()x=∑CC(x)h=∑CCn m, n m n ∑NCn 展开系数Cn的物理意义:表示在v(x)态中测量力学量 F得到结果为F的本征值n的几率 C为几率幅 般的v(x)不一定为力学量F的本征态,是这些{混合 态如
即 一般为复数不含 设 已归一化，则 的模方之和为1： 展开系数 的物理意义： 表示在 态中测量力学量 得到结果为 的本征值 的几率。 为几率幅。 一般的， 不一定为力学量 的本征态，是这些 的混合 态如 ( ) (3) C x dx n n n = ( ) ( ) m n = =C (2) n n n m n n mn n x dx C x dx C = Cn x ( x) Cn ( ) ( ) ( ) , , 2 1 (4) m n m n m n mn m n m n n n x x dx C C x dx C C C = = = = Cn 2 Cn ( x) F F n Cn ( x) F n
线性谐振子的能量本征态为vn=N,e2Hn(ax)而粒手可能处 于混合态(x)=∑Cnn例如平(x)=ay+bw+cv 且l2+b2+|cF2=1,则粒子处于谐振子基态的几率为a,激态 几率:|b,二激态几率:相应的测量E得:2Mo.2h 例粒子处于Vx=Asin22yx7h px COS 态 2连续谱 1)当力学量的测量值(厄密算符F的本征值)构成部 分分立,部分连续的集合(如P,E都可能,而2,L 不可能)即 (x)=∑Cn(x)+c(x)d为连续变量(5)
线性谐振子的能量本征态为 ，而粒子可能处 于混合态 例如 且 则粒子处于谐振子基态的几率为 ,一激态 几率： , 二激态几率： 相应的测量E得： 。 例粒子处于 态 2.连续谱 1）当力学量的测量值（厄密算符 的本征值）构成部 分分立，部分连续的集合（如 都可能，而 不可能）即 为连续变量 ( ) 1 2 2 2 x n n n N e H x − = ( ) n n = x C ( ) 0 1 2 = + + x a b c 2 2 2 abc + + = 1, 2 a 2 b 2 c 1 3 5 , , 222 F P E, 2 , L L z ( ) ( ) ( ) (5) n n n x C x C x d = + 2 1 sin cos 2 x px px A = +
其中C2=(x)(x)(6)则 ∑ +|C.d=1 这时,(Cd表示测量力学量F结果在A→>+d 之间的几率 2)例氢原子处于基态W10(,O,q)求电子动量的几率分布 解:将H原子基态用动量算符的本征函数v2(r)展开: 其中几数()=c,(nr (8) Cp=Jvpryoo(r dr= g 1 ipr 、1 e h r sin edred
其中 则 这时， 表示测量力学量 结果在 之间的几率 2）例氢原子处于基态 求电子动量的几率分布 解：将 原子基态用动量算符的本征函数 展开： 其中几率幅： 100 (r, , ) H p (r) C x x dx ( ) ( ) (6) = 2 2 1 (7) n n n C C d + = 2 C d F → + d 100 ( ) ( ) (8) p p r C r d = ( ) ( ) ( ) 0 2 100 3 3 0 2 1 1 sin 2 r i p r a C r r d e e r drd d p p a − − • = =