下面我们就给出数学期望（均值）的定义： 对一般的离散型分布，我们有 设X为一离散型随机变量，其分布律为 P(X=x)=p,i=1,2,… 如果 云l<+o,则称 Definition 为随机变量X的数学期望（均值），用符号EX表示.若 ∑lp:=十o∞，则称X的数学期望（均值）不存在. Previous Next First Last Back Forward 5
下面我们就给出数学期望 (均值) 的定义: 对一般的离散型分布, 我们有 设 X 为一离散型随机变量, 其分布律为 P(X = xi) = pi, i = 1, 2, · · · 如果 ∑∞ i=1 |xi|pi < +∞, 则称 ∑∞ i=1 xipi 为随机变量 X 的数学期望 (均值), 用符号 EX 表示. 若 ∑∞ i=1 |xi|pi = +∞, 则称 X 的数学期望 (均值) 不存在. Definition Previous Next First Last Back Forward 5
对连续型随机变量，其数学期望的定义如下 不妨设连续型随机变量X的密度f(x)的非零取值范围为(a,b),a< b可以为干©，则可以通过将X离散化来考虑X的期望： 1.取点集{x},使得a=xo<x1<..<xm=b,区间长为 △x1=x-xi-1. 2.定义一个新的离散型随机变量X',其所有可能取值点为{t}, x-1<t:≤xa且有分布律 P(X'=t)=pi=P(xi-1<X≤xi)≈f(t)△xi 3.从而有离散型随机变量期望的定义有：（△x:→0） EX'=∑tp≈∑taJ)△r→xfe)dr=EX<o, 如果∑zp:≈∑lfta)△x:→ Ixlf(z)dx <oo. Previous Next First Last Back Forward 6
对连续型随机变量, 其数学期望的定义如下 不妨设连续型随机变量 X 的密度 f(x) 的非零取值范围为 (a, b), a < b 可以为 ∓∞, 则可以通过将 X 离散化来考虑 X 的期望: 1. 取点集 {xi}, 使得 a = x0 < x1 < . . . < xn = b, 区间长为 ∆xi = xi − xi−1. 2. 定义一个新的离散型随机变量 X′ , 其所有可能取值点为 {ti}, xi−1 < ti ≤ xi 且有分布律 P(X ′ = ti) = pi = P(xi−1 < X ≤ xi) ≈ f(ti)∆xi 3. 从而有离散型随机变量期望的定义有:(∆xi → 0) EX′ = ∑tipi ≈ ∑tif(ti)∆xi → ∫ R xf(x)dx := EX < ∞, 如果∑|xi|pi ≈ ∑|ti|f(ti)∆xi → ∫ R |x|f(x)dx < ∞. Previous Next First Last Back Forward 6
如果连续型随机变量X的概率密度函数为∫(x),则当 rlf(r)dr<oo 时，我们将积分 rf(x)dx Definition 的值称为X的数学期望，记作EX.如果 lf(x)dr =oo, 则称X的数学期望不存在. Previous Next First Last Back Forward 7
如果连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x), 则当 ∫ ∞ −∞ |x|f(x)dx < ∞ 时, 我们将积分 ∫ ∞ −∞ xf(x)dx 的值称为 X 的数学期望, 记作 EX. 如果 ∫ ∞ −∞ |x|f(x)dx = ∞, 则称 X 的数学期望不存在. Definition Previous Next First Last Back Forward 7
下面求解几种常见分布的数学期望， 1.二项分布X~B(n,p 2.Poisson分布X~P(入)： 3.均匀分布X~U[a,: Previous Next First Last Back Forward 8
下面求解几种常见分布的数学期望. 1. 二项分布 X ∼ B(n, p): EX = ∑n k=0 k. n! k!(n − k)! p k (1 − p) n−k = np · n∑−1 i=0 (n − 1)! i!(n − 1 − i)! p i (1 − p) n−1−i = np. 2. Poisson 分布 X ∼ P(λ): EX = λ. 3. 均匀分布 X ∼ U[a, b]: EX = ∫ b a x 1 b − a dx = a + b 2 . Previous Next First Last Back Forward 8