中国人民大学：《金融计量学》课程教学资源（PPT课件）Lecture 03 差分方程、滞后运算与动态模型 3.3 高阶差分方程 3.4 滞后算子与滞后运算法

3.3高阶差分方程 阶差分方程可以拓展到二阶以及 更高阶的差分方程，为方便起见，把高 于一阶的差分方程统一称为高阶差分方 程。假设差分方程的阶数为p,则p阶差 分方程的一般表达式可以写成： y,=Cy-1+02y-2+.+Cpyk-p+e

3.3 高阶差分方程 一阶差分方程可以拓展到二阶以及 更高阶的差分方程，为方便起见，把高 于一阶的差分方程统一称为高阶差分方 程。假设差分方程的阶数为p，则p阶差 分方程的一般表达式可以写成： t t t p t p t 1 1 2 2 y y y y     = + + + + − − − t t t p t p t 1 1 2 2 y y y y     = + + + + − − −

要从高阶向一阶转化，首先定义几个 常用矩阵： y 02 y-1 1 0 0 Y,= y-2 F= 0 e= 0 y-(p-) 0 px1

要从高阶向一阶转化，首先定义几个 常用矩阵： 1 2 ( 1) 1 t t t t t p p y y Y y y − − − −        =           1 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 p p p p F     −        =           0 0 0 t t e        =          

例如p=5时， 1 2 1 0 0 F- 0 1 0 0 0

例如p＝5时， 1 2 3 4 5 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 F            =          

现在，p阶差分方程就可以转化为： y 02 03 y-1 y-1 1 0 y-2 0 y1-2 0 y-3 十 0 y-(p-) 0 001 Y-p 0 即，Y=FY-1+e

现在，p阶差分方程就可以转化为： 即， 1 2 3 1 1 2 2 3 ( 1) 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 t t p t t t t t t p t p y y y y y y y y      − − − − − − − −                             = +                                     Y FY e t t t = + −1

通过反复迭代，可以得到： Y,=F+lY1+F'e。+F-e,+…+Fe,-1+e, y y y y-2 0 0 0 0 y-2 =F 八 +F 0+F- 0 +…十F 0 + 0 : y-p- y-p」 0 0 0

通过反复迭代，可以得到： 1 1 1 0 1 1 t t t Y F Y F e F e Fe e t t t + − = + + + + + − − 1 0 1 1 1 2 1 1 2 3 ( 1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t t t t t t t t t p p y y y y y y F F F F y y −     − − − + − − − − − −                                         = + + + + +                                                        