q、z反交换 z反变换:从X(z)中还原出原序列x(n) x(n)=Z7X(=) X()=Zx(m)=∑x(n)n n=-00 实质:求X(z)幂级数展开式 z反变换的求解方法: 围线积分法(留数法) 部分分式法 长除法
二、z反变换 实质：求X(z)幂级数展开式 z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法x n IZT X z ( ) [ ( )] = z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n) ( ) [ ( )] ( ) n n X z ZT x n x n z − =− = =
1、围线积分法(留数法) 根据复变函数理论,若函数ⅹ(z)在环状区域 <|z|<R (R≥0.R x ∞)内是解析的, 在此区域内X(z)可展开成罗朗级数,即 X()=∑CnR<<R n=-0 ↑Im[- n2兀J X(zdz 0.±1±2. R R 其中围线c是在Xz)环状(、d Rely 收敛域内环绕原点的一条 反时针方向的闭合单围线
1、围线积分法（留数法） 根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内是解析的，则 在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即 而 其中围线c是在X(z)的环状 收敛域内环绕原点的一条 反时针方向的闭合单围线。 , 0, x x x x R z R R R − + − + （ ） ( ) n n x x n X z C z R z R − + − =− = 1 1 ( ) 2 n n c C X z z dz j − = Re[ ]z j z Im[ ] 0 x R − x R + C n = 0, 1, 2
(n) X(=)ztzc∈(R,R) 2r j 利用留数定理求围线积分,令 F(2=X(22 若F(z)在围线c上连续,在c内有K个极点, 则 x(n)=∑RsF() 若F(z)在c外M个极点zm,且分母多项式z的 阶次比分子多项式高二阶或二阶以上 贝 x(n)=∑ResF()
若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的 阶次比分子多项式高二阶或二阶以上， 则： 1 1 ( ) ( ) ( , ) 2 n x x c x n X z z dz c R R j − + − = 1 ( ) ( ) n F z X z z − = ( ) Re [ ( )] k z z k x n s F z = = ( ) Re [ ( )]z zm m x n s F z = − = 利用留数定理求围线积分，令 若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk， 则：
Q留数的计算公式 单阶极点的留数: ReS[F()==[(=-2)F()]=
留数的计算公式 单阶极点的留数： Re [ ( )] [( ) ( )] r r z z r z z s F z z z F z = = = −
例1:X(z)= ,1/4<|z<4 ,求其z反变换 (4-z)(二-1/4) 解x(n) 2zjc(4-z)(x-1/4) dc∈(R,R) n+1 其中:F(z)= (4-z)(z-1/4)(4-z)(二-1/4) F()在围线内只有一阶极点。1 jIme] 4 x(n)=res(z) 1/4 A 4(4-z)(二-1/4 Rez 4 15
2 ( ) 1/4< 4 (4 )( 1/ 4) z X z z z z = − − 例1： ， ，求其z反变换Re[ ]z j z Im[ ] 0 C 1/ 4 4 2 1 1 ( ) ( , ) 2 (4 )( 1/ 4) n x x c z x n z dz c R R j z z − + − = − − 解： 2 1 1 ( ) (4 )( 1/ 4) (4 )( 1/ 4) n z z n F z z z z z z + − = = − − − − 其中： 1 1 ( ) 4 n F z c z − = 当 时 在围线 内只有一阶极点 1 4 ( ) Re [ ( )] z x n s F z = = 1 1 4 1 ( ) 4 (4 )( 1/ 4) n z z z z z + = = − − − 4 15 −n =