第六讲 分部积分法
第六讲 分 部 积 分 法
不定积分 1.基本积分公式 (8) sinxdx =-cosx +c (1) kdx =kx+c (9) cosxdx sinx +c xu+1 (2) xudx u+1 +c(u≠-1) (10) sec2xdx tanx+c (3) dx =Inc (11) csc2xdx =-cotx +c (4) exdx =ex+c (12) secxtanxdx secx +c Q (5) axdx= +c(a>0,a≠1) cscxcotxdx =-cscx +c Ina (13) 1 1 (6) dx=-+c (14) dx arcsinx +c V1-x2 )]1 dx=2√x+c (15) 12 dx arctanx+c
(2) න 𝑥 𝑢𝑑𝑥 = 𝑥 𝑢+1 𝑢 + 1 + 𝑐 (𝑢 ≠ −1) (1) න 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 (3) න 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 |𝑥| + 𝑐 (4) න 𝑒 𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐 (5) න 𝑎 𝑥𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 + 𝑐 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) (6) න 1 𝑥 2 𝑑𝑥 = − 1 𝑥 + 𝑐 (9) න 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐 (8) න 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 (10) න 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐 (11) න 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐 (12) න 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥𝑑𝑥 = sec𝑥 + 𝑐 (13) න 𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑐 (14) න 1 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐 (15) න 1 1 + 𝑥 2 (7) න 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐 1 𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 𝑐 1.基本积分公式
不定积分 2.分部积分公式 微分法则： duv vdu udv 两边同时积分 fdw-∫va+∫uaw 分部积分公式 ∫aw=w-dn
𝒅𝒖𝒗 = 𝒗𝒅𝒖 + 𝒖𝒅𝒗 න 𝒅𝒖𝒗 = න 𝒗𝒅𝒖 + න 𝒖𝒅𝒗 න 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − න 𝒗𝒅𝒖 两边同时积分 微分法则： 分部积分公式 2.分部积分公式
不定积分 例1.求下列积分. (1)∫xe*dx 分析：xdr=d号，e*dr=der 方法1：原式=∫e*号=兰e*-de =e*-∫erdx 更复杂 方法2：原式=∫xdex=xex-∫exdx 更简单 xex-ex+C u=x,v=ex 通过公式化为更简单的积分
例1.求下列积分. �𝒙� (1( 𝒙𝒅𝒙 分析：𝒙𝒅𝒙 = 𝒅 𝒙 𝟐 𝟐 ,𝒆 𝒙𝒅𝒙 = 𝒅𝒆 𝒙 方法1：原式= �� 𝒙𝒅 𝒙 2 2 = 𝒙 2 2 𝒆 − �� 𝒙 𝟐 2 𝒅𝒆 𝒙 = 𝒙 2 2 𝒆 − �� 𝒙 𝟐 2 𝒆 𝒙𝒅𝒙 更复杂 方法2：原式=�𝒅𝒙� 𝒙 = 𝒙𝒆 �� − �� 𝒙 𝒅𝒙 更简单 = 𝒙𝒆 𝒙 − 𝒆 𝒙 + 𝑪 𝑢 𝑣 𝑢 = 𝑥, 𝑣 = 𝒆 𝒙 通过公式化为更简单的积分
不定积分 类型1 ∫xedx,erdx=des∫x"aer sinadx.stxds -d-cos),d-co ∫x"rcosxdx,.cosxdx=d(sins9）xdst) (n≠-1). u=xn,v=ex,sinx,-cosx
类型1 න 𝒙 𝒏𝒆 𝒙𝒅𝒙， න 𝒙 𝒏𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙， න 𝒙 𝒏𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙, 𝒆 𝒙𝒅𝒙 = 𝒅𝒆 𝒙 , 𝒏 ≠ −𝟏 . 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒅 −𝒄𝒐𝒔𝒙 , 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 = 𝒅(𝒔𝒊𝒏𝒙) න 𝒙 𝒏𝒅𝒆 𝒙 න 𝒙 𝒏𝒅(−𝒄𝒐𝒔𝒙) න 𝒙 𝒏𝒅(𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒖 = 𝒙 𝒏 , 𝒗 = 𝒆 𝒙 ，𝒔𝒊𝒏𝒙， − 𝒄𝒐𝒔𝒙