第三讲：分子的对称性与群论基础 群(GROUP)与分子点群(POINT GROUP)
第三讲：分子的对称性与群论基础 群(GROUP)与分子点群(POINT GROUP)
群与分子点群 1.群的定义(Group) 考虑一组元素的集合G{A,B,C,.},元素之间可以定义结合规 则“乘法”，若满足以下条件，则称该组元素的集合构成一个群： (1)封闭性(closure) 若A和B是该集合的任意两个元素，则它们的积AB也一定是 该集合的元素。 (2)结合性(associativity) 结合规则满足结合律： (AB)C=A(BC) (3)恒等元素(Identity element) 该集合必须含有一个元素E,对于该集合中的任何元素A, 都有：AE=EA=A (4)逆元素(Inverse element) 对于该集合的任何元素A,一定有一个逆元素A-1,它也是 该集合的一个元素，使得： AA-1=A-1A=E。 D 2
1. 群的定义 (Group) 2 考虑一组元素的集合G{A，B，C， .},元素之间可以定义结合规 则“乘法” ,若满足以下条件,则称该组元素的集合构成一个群: (4) 逆元素 (Inverse element) 对于该集合的任何元素 A，一定有一个逆元素A -1 ，它也是 该集合的一个元素，使得： AA-1= A -1A = E 。 (3) 恒等元素 (Identity element) 该集合必须含有一个元素 E，对于该集合中的任何元素 A， 都有：AE=EA=A (2) 结合性 (associativity) 结合规则满足结合律: (AB)C=A(BC) (1)封闭性 (closure) 若A和B是该集合的任意两个元素，则它们的积AB也一定是 该集合的元素。 群与分子点群
群与分子点群 1.群的定义 *群元素： 数、矩阵、对称操作、算符 米 群元素： 假定群里的元素都不相同 *阶： 群元素的数目 (order of group) 米 乘法： 元素间的某种结合规则，须满足结合律。 乘积元素的逆： (AB)-1=B1A-1 (B1A-1)(AB)=B-1(A-1A)B=E *交换群： 如果所有的群元素间的乘法全都对易（即AB=BA, AC=CA,.),则称为阿贝尔群(Abelian group)或交换群 (commutative group).。 特例是循环群：（群的所有元素可由某个元素的自身乘积产生） (cyclic group) 例如： C3群 C,Ci,=B
1. 群的定义 3 * 群元素: 数、矩阵、对称操作、算符 * 群元素： 假定群里的元素都不相同 * 阶： 群元素的数目 (order of group) * 乘法： 元素间的某种结合规则，须满足结合律。 乘积元素的逆： (AB)-1 = B -1A -1 (B -1A -1)(AB) =B-1 (A-1A)B=E * 交换群： 如果所有的群元素间的乘法全都对易 (即 AB=BA, AC=CA,.)，则称为阿贝尔群( Abelian group)或交换群 (commutative group)。 特例是循环群:（群的所有元素可由某个元素的自身乘积产生） (cyclic group) 例如： C3群： C C C ˆ E ˆ , ˆ , ˆ 3 3 2 3 3 = 群与分子点群
群与分子点群 2.例子 1)、全部正、负整数及零的集合，结合规则是数的加法 说明 (1)结合性：数的加法具有结合性 (2)封闭性：整数的加和仍为整数 (3)恒等元素：0 (4)逆元素：相反数(1与-1,2与-2，.) 2)、数组：G={+1,-1,-,结合规则是数的乘法 说明：(1)结合性： 满足 (2)封闭性： 满足 (3)恒等元素：+1 (4)逆元素： (i)-1=-i,（-1)-1=-1 同理： 数组 G={+1,-0 构成二阶群 G={+1} 构成一阶群
2. 例子 4 1)、全部正、负整数及零的集合,结合规则是数的加法 说明 (1) 结合性：数的加法具有结合性 (2) 封闭性：整数的加和仍为整数 (3) 恒等元素： 0 (4) 逆元素：相反数 （1 与 -1，2 与 -2，.） 2)、数组：G = {+1, -1, i, -i}, 结合规则是数的乘法 说明 : (1) 结合性： 满足 (2) 封闭性： 满足 (3) 恒等元素： +1 (4) 逆元素： ( i ) -1 = -i , ( -1 )-1 = -1 同理： 数组 G = {+1, -1} 构成二阶群 G = {+1 } 构成一阶群 群与分子点群
群与分子点群 思考？ 1)、全部正、负整数的集合，结合规则是数的乘法 2)、全部正、负整数与零的集合，结合规则是数的乘方
思考？ 5 1)、全部正、负整数的集合,结合规则是数的乘法 群与分子点群 2)、全部正、负整数与零的集合,结合规则是数的乘方