中国科学技术大学：《量子化学 Quantum Chemistry》课程教学资源（讲稿）第四讲 分子的对称性与群论基础——对称操作的矩阵表示

第四讲：分子的对称性与群论基础 对称操作的矩阵表示

第四讲：分子的对称性与群论基础 对称操作的矩阵表示

直观描述→精确的数学表达式

2 直观描述  精确的数学表达式

对称操作的矩阵表示 1.坐标变换 g给定坐标系下，空间中任一点坐标表示为 =xi+万+z成-（了刘（⊙ 坐标向量 列向量 基矢向量 行向量 g对称操作作用下，点P移动到P P R 新旧坐标之间通过矩阵R相联系 =(R R即是对称操作的矩阵表示 3x3 3

1. 坐标变换 3 对称操作的矩阵表示 r xi yj zk    g v v v v 给定坐标系下，空间中任一点坐标表示为 坐标向量 列向量 基矢向量 行向量 P P' R ˆ ˆ ' R R g对称操作 作用下，点P移动到P 新旧坐标之间通过矩阵 相联系  3 3 ' ' ' x x y y z z                       R R即是对称操作R ˆ的矩阵表示 P P R   ˆ 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧

对称操作的矩阵表示 1.坐标变换 (1)恒等操作 的矩阵表示： X (100x 10 0 y 0 1 0 y E= 0 1 00 1 0 (2) 中心反演 金的矩阵表示： 0 0 i= 0 -1 0 0

1. 坐标变换 4 对称操作的矩阵表示 (1) 恒等操作                                                         z y x z y x z y x z y x 0 0 1 0 1 0 1 0 0            0 0 1 0 1 0 1 0 0 E ˆ E的矩阵表示: (2) 中心反演                                                               z y x z y x z y x i z y x 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ˆ               0 0 1 0 1 0 1 0 0 i : i ˆ 的矩阵表示

对称操作的矩阵表示 1.坐标变换 (3) 真转动C(e) x'=rsinecos(o+a) a= π =rsincospcosa-sinpsina n =xcosa-ysina y=xsina+ycosa 2=2 cosa -sina 0 cosa -sina 0 即： sina cosa 0 y →CE= sina cosa 0 z' 0 0 1 0 0 cosa sina cos(ka）-sin(ka）) 0 -sin a cosa 推广：C= sin(ka） cos(ka） =(C.) 0 0 0 0 1 >5 c C.=c)

1. 坐标变换 5 对称操作的矩阵表示   cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 nz                  C     sin cos sin cos cos sin sin cos sin x r r x y                  y x y ' sin cos     z z '  ' cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 x x y y z z                                  即：           cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 k k k k k                  k 推广：C C n n   1 -1 n cos sin 0 sin cos 0 0 0 1                   C Cn ˆ k Cn   1 1 ˆ ˆ n C C n n    2 n    (3) 真转动 C z n ˆ