π。→(1)(2)3)(4)(5)(6) π。-→(123)(465) π。-→(132)(456) n个字母的循环n次方等于不动 (单位置换)；正则置换的循 π6→(14)(25)(36) 环结构必须等长。 π→(15)(26)(34) π6m→(16)(24)(35) π=a==e π&=e 习题：对$群进行类分解，确定各类元素的数目， 构造与1G=8群同构的子群
(1)(2)(3)(4)(5)(6) e (123)(465) a 2 (132)(456) a (14)(25)(36) b (15)(26)(34) ba 2 (16)(24)(35) ba 2 2 2 2 b ba ba e 3 a e n个字母的循环n次方等于不动 （单位置换）；正则置换的循 环结构必须等长。 习题： 对S8群进行类分解，确定各类元素的数目， 构造与|G|=8群同构的子群
PartⅡ群的表示理论 Chapter8线性向量空间 (Linear vector spaces) 1.定义 考虑向量集合L={x,y,}，如果 xCL,yCL x+y=y+xCL axcL 实数或复数数域 “加法”或“乘法”满足下列条件 ,B∈K (a+B)x=ax+Bx (aβ)x=a(Bx) 1x=x 则称{x,y,}构成线性矢量空间L。 a(x+y)=ax+ay 0+x=x
Part II 群的表示理论 Chapter 8 线性向量空间 (Linear vector spaces) 1. 定义 考虑向量集合 L { , , } x y ，如果 x y L L , x y y x x L L “加法”或“乘法”满足下列条件 , K ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 0 x x x a x x x x y x y x x = + x 则称 { , , } x y 构成线性矢量空间 L 。 实数或复数数域
集合{x,y,}中的元素可以是vectors,points,functions, matrices,--- 若线性矢量空间中最多有n个线性独立的向量，则称L是n维 线性空间。 线性独立，即∑C4≠0，除非C,=0,i=1,…,n 若{4}是线性独立的，有任一向量u m+∑c4-0u=-∑c4 因此，只选n个线性独立的向量{4,2，…，um}作为基或基矢 (向)量。在{u}基下，任意u∈L,可用基展开，即 u=∑xw {4,}：坐标系{x}:称为u的坐标
集合 中的元素可以是 vectors，points，functions， matrices，┅ 若线性矢量空间中最多有 个线性独立的向量，则称 是 维 线性空间。 { , , } x y L 线性独立，即 i i 0 ，除非 i C u 0, 1, , C i n i 若 { } ui 是线性独立的，有任一向量 u 0 i i i u C u 1 2 i i i u C u 因此，只选 个线性独立的向量 作为基或基矢 （向）量。在 基下，任意 ，可用基展开，即 n n 1 2 { , , , }m u u u { }i u uL i i i u x u { }i u ：坐标系 { }i x ：称为 u 的坐标 n
2.维数：独立向量的个数 0 0 维：卞=a 二维：下=成+b。 三维：产=a成。+b。+c2 球谐函数： 1维： 1=0,s 3维：1=1，Px,Py,P 5维：1=2，dn,d,de,d,dy
2. 维数：独立向量的个数 二维： 0 0 r ax by 三维： 0 0 0 r ax by cz x y 0 y z x 0 一维： 0 r ax 0 x 球谐函数： 1维： l s 0, 3维： 5维： 1, , , x y z l p p p 2 2 2 - 2, , , , , xy xz yz z x y l d d d d d
(n×n)矩阵形成的n维线性空间 a 方阵： 或 … Possible basis 10. 0 010..0 (000. 0 411= 412= 0 0 …0 .0 0…… 1 任一方矩A=∑a,4 i 行向量： 列向量： (a1,42,a3,…,an) 行矩阵： 1×n an 列矩阵：n×l
（n×n）矩阵形成的n 2维线性空间 方阵： 11 1 1 n n nn a a a a 或 ( )ij n n a Possible basis 11 1 0 0 0 0 u 12 0 1 0 0 0 0 u 0 0 0 0 0 0 1 nn u 1 2 3 ( , , , , ) n a a a a 任一方矩 , ij ij i j A a u 行向量： 行矩阵： 1n 列向量： 1 2 3 n a a a a 列矩阵： n 1