厦门大学：《群论及其在化学中的应用》课程教学资源（课件讲稿）Part I 群论基础 Chapter 1 基本概念 Chapter 2 抽象群的结构

Part I群论基础 Chapter1基本概念 L.群的定义(Group) 设G是一些元素的集合，G={…g}={g}在G中定义了 一种代数运算，称为乘法，记作“。”。如果G对这种运算 满足下面四个条件： 1>闭集合 a·b∈G(一般ab≠ba) 2>结合律a·b·c=(ab)·c=a(b·c) 3>唯一的单位元群中任意的一个元素a有e·a=a·e=a 4>逆元素 对任意a∈G,都可以找到一个元素a∈G使 aa =aa=e 满足上述四个条件的集合(St)G,称为一个群

Part I 群论基础 Chapter 1 基本概念 G { } {}  g g  ab G •  ab ba  1. 群的定义（Group） 设 G 是一些元素的集合， 在 G 中定义了 一种代数运算，称为乘法，记作“• ”。如果 G 对这种运算 满足下面四个条件: 2> 结合律 1> 闭集合 (一般 ) abc ab c a bc •• • • • •  () ()  3> 唯一的单位元 群中任意的一个元素 a 有 ea ae a • •   4> 逆元素 对任意 ，都可以找到一个元素 使 a G -1 a G -1 -1 aa a a e   满足上述四个条件的集合（Set）G，称为一个群

逆元素唯一性的证明： 假设存在另一个逆元素a，则按定义： 同样可以证明： (ab)-1=b-1a1: (ab…hk)-1=k-1h-1..b-1a-1 (ab…hk)-1(ab…hk)=k-h-1.…b-1a-(ab…hk) e=(k-h-1…b-1(a-1a)(b…hk)=(k-h-1.…)(b-b)(…hk)=…=e 群元素的个数称为群的阶(order),记为G。 G有限：有限群：G无限：无限群 离散的无限群：Discrete(infinite)Group. 无限群 Infinite Group L 连续的无限群：Continuous(infinite)Group

逆元素唯一性的证明： 假设存在另一个逆元素a，则按定义： -1 -1 -1 -1 ( ) ( ) a aa a a a aa a a         群元素的个数称为群的阶（order），记为 。 有限：有限群； 无限：无限群 无限群 离散的无限群：Discrete (infinite) Group. 连续的无限群：Continuous (infinite) Group. G G G Infinite Group 同样可以证明： (ab) 1 = b1a 1； (abhk) 1 = k 1h1  b1a 1 (abhk) 1(abhk) = k 1h1  b1a 1(abhk) e = (k 1h1  b1)( a 1a) (bhk)= (k 1h1  ) (b1b) (hk) =  = e

2.同构关系（Isomorphic group) 群的例子： {包，i,1,} 对数的乘法构成一个群 {E,C4,C,C} 乘法：连续转动构成一个群 {E,o};{E,;{E,C2} 抽象群： 二阶群 四阶群 e a a2=e e a a2 a3 ad=e a=0 1i-1-i a=i e C2 a=C2 e i a=i C a=C4

2. 同构关系（Isomorphic group）   2 3 44 4 E,,, CCC 1, , -1, - i i E Ei EC , ; , ; , ...     2 抽象群： 二阶群 ea a2=e e σ a=σ e C2 a=C2 e i a=i eaa2 a3 a4 =e 1 i -1 -i e C4 C43 a=i a=C4 四阶群 对数的乘法构成一个群 群的例子: 2 C4

六阶群 ①C3n AB 群元素：EC3CO1O2o3 6 且有：002=C3 0201=C3 01=01 (C3)=C (约定转动为反时针方向) 2 群元素： E C C2 CCC

-1 2 3 3 ( )= C C 2 ' '' ''' EC C C C C 33 222 六阶群 ① C3v AB3 (约定转动为反时针方向) 2 EC C 33 123    12 3  = C 2  21 3 =C -1   1 1 = ② D3 群元素： 群元素： 且有：

③三个数字的置换S,置换群(123) 123 123 123 123 123 123 231 312 132 213 E C3 C C C C D E C3 C 01 02 01 0201-C 2/C2" O3/C2" 2）-9 o1/C2 a-G

2 ' '' ''' 3 3 222 2 3 3 1 21 123 123 123 123 123 123 123 231 312 132 213 321 E C C CCC EC C                        2 3 123 123 132 123 321 132 312 132 123 312 C                            ③ 三个数字的置换 置换群（ S3 123） 2  21 3 =C C2'' C2' C2''' 1 3 2 3 S D3 C3v