第九章静电场中的导体和电介质 基本要求 一、掌握导体的静电平衡条件，并能利用这些条件确定导体表面 电荷的分布： 二、掌握有导体存在的电场中场强和电势的计算方法： 三、了解电介质极化的原理以及电介质对电场的影响： 四、掌握运用介质中的高斯定律求场强的方法： 五、掌握电容和电场能量的计算方法。 内容提要 一、静电场中的导体 静电平衡状态导体内部和表面都没有电荷的宏观移动。 静电平衡条件导体内部的电场强度为零，导体表面的电场 强度与表面垂直。 静电平衡的特点 1,场强特点：导体内部的电场强度为零，导体表面的电场强 度与表面垂直。 2.电势特点：导体是等势体，表面是等势面。 3.电荷分布特点：①电荷只分布在表面上：②对空腔导体， 腔内无其他带电体时，电荷只分布在外表面上；③对孤立导体， 表面各处的面电荷密度和该处表面的曲率有关。曲率大处，面电 荷密度大。 导体表面的场强与面电荷密度的关系E=· 二、静电场中的电介质 电介质（绝缘介质）电介质内没有可以自由移动的电荷，在 131
131 第九章 静电场中的导体和电介质 基 本 要 求 一、掌握导体的静电平衡条件，并能利用这些条件确定导体表面 电荷的分布； 二、掌握有导体存在的电场中场强和电势的计算方法； 三、了解电介质极化的原理以及电介质对电场的影响； 四、掌握运用介质中的高斯定律求场强的方法； 五、掌握电容和电场能量的计算方法。 内 容 提 要 一、静电场中的导体 静电平衡状态 导体内部和表面都没有电荷的宏观移动。 静电平衡条件 导体内部的电场强度为零，导体表面的电场 强度与表面垂直。 静电平衡的特点 1. 场强特点：导体内部的电场强度为零，导体表面的电场强 度与表面垂直。 2. 电势特点：导体是等势体，表面是等势面。 3. 电荷分布特点：①电荷只分布在表面上；②对空腔导体， 腔内无其他带电体时，电荷只分布在外表面上；③对孤立导体， 表面各处的面电荷密度和该处表面的曲率有关。曲率大处，面电 荷密度大。 导体表面的场强与面电荷密度的关系 0 σ E = 二、静电场中的电介质 电介质(绝缘介质) 电介质内没有可以自由移动的电荷，在
电场作用下，电介质中的电荷只能在分子范围内移动。 分子电矩P分=q分 电极化强度单位体积内分子电矩的矢量和。 ∑P分 P=g。 对各向同性电介质 电极化强度和场强的关系：P=Eox.E 电位移矢量：D=SS,E=E 这三个矢量的一般关系是：D=6。E+P 三、电位移矢量和有介质时的高斯定理 电位移线电位移线类似于电力线(E线)，在电场中也可以画 出电位移线(D线)。D线发自正自由电荷止于负自由电荷。 介电常数 真空中的介电常数6o=8.85×1012C2Nm 相对介电常数6，=1+，(G21) 绝对介电常数（介电常数）6=60E, 有介质时的高斯定理通过任意封闭曲面的电位移通量等于 该封闭面所包围的自由电荷的代数和。 D·dB=∑q 四、电容器的电容 电容器两金属极板，其间充以电介质。 电容（量）电容器带电量与其电压之比 132
132 电场作用下，电介质中的电荷只能在分子范围内移动。 分子电矩 p分 = ql分 电极化强度 单位体积内分子电矩的矢量和。 V V = → p分 P 0 lim 对各向同性电介质 电极化强度和场强的关系： P = 0 eE 电位移矢量： D = 0 rE = E 这三个矢量的一般关系是： D = 0E + P 三、电位移矢量和有介质时的高斯定理 电位移线 电位移线类似于电力线(E 线)，在电场中也可以画 出电位移线(D 线)。D 线发自正自由电荷止于负自由电荷。 介电常数 真空中的介电常数 0=8.85×10-12 C 2 /N·m2 相对介电常数 r = 1+ e ， (r 1) 绝对介电常数（介电常数） = 0 r 有介质时的高斯定理 通过任意封闭曲面的电位移通量等于 该封闭面所包围的自由电荷的代数和。 = s s d q 内 D S 四、电容器的电容 电容器 两金属极板，其间充以电介质。 电容(量) 电容器带电量与其电压之比
C=0-0e 电容器的串联等效电容=人+人+上+ C-C C:C 电容器的并联等效电容C=C+C2+C,+. 五、电场的能量 当电容器带电后，同时也储存了能量，电容器的储能公式： 电场能量密度电场单位体积中的能量。 体积V中的能量 W.=j∬DEdr 解题方法与例题分析 一、电场中有导体存在时，场强与电势的计算 1、求场强的方法：①高斯定理：②场强叠加原理。 2、求电势的方法：①用电势的定义式计算：②电势叠加原理。 例1A、B、C是三块平行金属板，面积均为200cm2,A、 B相距4.0mm,A、C相距2.0mm,B、 C两板都接地，如图9一1所示。设A 板带正电3.0×10C,不计边缘效应， 求B板和C板上的感应电荷，以及A 板的电势。 A板带正电，B、C两板接地， 且两板在A板附近，所以A板上的正电 图9一1 133
133 U A UB Q C − = 电容器的串联 等效电容 = + + + 1 2 3 1 1 1 1 C C C C 电容器的并联 等效电容 C = C1 + C2 + C3 + 五、电场的能量 当电容器带电后，同时也储存了能量，电容器的储能公式： 2 2 2 1 2 1 2 QU CU C Q We = = = 电场能量密度 电场单位体积中的能量。 2 2 1 2 1 we = DE = E 体积 V 中的能量 W DEdV V e = 2 1 解题方法与例题分析 一、电场中有导体存在时，场强与电势的计算 1、求场强的方法：①高斯定理；②场强叠加原理。 2、求电势的方法：①用电势的定义式计算；②电势叠加原理。 例 1 A、B、C 是三块平行金属板，面积均为 200cm2，A、 B 相距 4.0mm，A、C 相距 2.0mm，B、 C 两板都接地，如图 9—1 所示。设 A 板带正电 3.0×10-7C，不计边缘效应， 求 B 板和 C 板上的感应电荷，以及 A 板的电势。 A 板带正电，B、C 两板接地， 且两板在 A 板附近，所以 A 板上的正电 C A B −q2 EAC EAB 2 q 1 q 1 −q 图 9—1
荷电量为q,分布在左右两表面，设B板感应电荷为q,C板感 应电荷为-q2，则 91+92=q ① 由于AB间和AC间均可视为匀强电场 En=9 EoS Ee器 所以 ② 根据题意 U-UB=U-UC daBEAB=dacEac 得 ③ EAC 由①②③解得q=1.0×10-7C,92=2.0×10-7C B板上感应电荷为-q1=-1.0×10-C C板上感应电荷为-q2=-2.0×10-7C u,=ada产暴e 1.0×10-3×4.0×10-3 -885x10×20x10=23x10V 例2半径分别为1.0cm与2.0cm的两个球形导体，各带电 属010℃，两球心侧相距很运，若用导线将两球相连，束
134 荷电量为 q，分布在左右两表面，设 B 板感应电荷为-q1，C 板感 应电荷为-q2 ，则 q1 +q2 =q ① 由于 AB 间和 AC 间均可视为匀强电场 S q EAB 0 1 = S q EAC 0 2 = 所以 AC AB E E q q = 2 1 ② 根据题意 AB AB AC AC A B A C d E d E U U U U = − = − 得 2 1 = AC AB E E ③ 由①②③解得 q1=1.0×10-7C， q2=2.0×10-7C B 板上感应电荷为 – q1= –1.0×10-7C C 板上感应电荷为 – q2= – 2.0×10-7C U A EAB d AB = d AB S q 0 1 = 12 4 7 3 8.85 10 200 10 1.0 10 4.0 10 − − − − = 2.3 10 V 3 = 例 2 半径分别为 1.0cm 与 2.0cm 的两个球形导体，各带电 量 1.0×10-8C，两球心间相距很远，若用导线将两球相连，求：
(1)每个球所带电量： (2)每球的电势。 解两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响，球上电荷 均匀分布。设两球半径分别为”1和2，导线连接后的带电量分别 为q1和q2,而q1+q2=2q,则两球电势分别是 4 ， 两球相连后电势相等，U1=U2,则有 4=4=9+4=29 片2片+2方+2 :24哑=6.67×10C 4=r+n g5=24=133x10C 片+3 两球电势U,=U2=9=6.0×103V 4匹o 例3两块无限大均匀带电导体平板 相互平行放置，设四个表面的电荷面密度 分别为o1、62、03、04,如图9一2所 示。求证当静电平衡时，O2=-03 1=04 证明垂直于板作柱状高斯面，如图 所示，因为导体内场强为零，两板间场强 图9 垂直于板平面，所以有 fE.ds=(2+o3)-S/6o=0 所以 02=-03 又左边导体板内场强E=(G1-02-0,-o)/2,=0 135
135 （1）每个球所带电量； （2）每球的电势。 解 两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响，球上电荷 均匀分布。设两球半径分别为 r1和 r2，导线连接后的带电量分别 为 q1和 q2，而 q1+q2= 2q，则两球电势分别是 0 1 1 1 4 r q U = ， 0 2 2 2 4 r q U = 两球相连后电势相等，U1=U2，则有 1 2 1 2 2 2 1 1 r r q q r q r q + + = = 1 2 2 r r q + = 即 1 2 1 1 2 r r qr q + = 6 67 10 C −9 = . 13.33 10 C 2 9 1 2 2 2 − = + = r r qr q 两球电势 0 1 1 1 2 4 r q U U = = 6 0 10 V 3 = . 例 3 两块无限大均匀带电导体平板 相互平行放置，设四个表面的电荷面密度 分别为 1、 2 、 3 、 4 ，如图 9—2 所 示。求证当静 电平衡时， 2 = − 3 、 1 = 4 。 证明 垂直于板作柱状高斯面，如图 所示，因为导体内场强为零，两板间场强 垂直于板平面，所以有 ( ) = + = S E dS 2 3 S1 0 0 所以 2 = − 3 又左边导体板内场强 E = ( 1 − 2 − 3 − 4 )/ 2 0 = 0 图 9—2 1 2 3 4 1 S 2 S 3 S