《医学物理学》课程教学资源（习题解答）静电场中的导体和电介质

考虑到G2+03=0 于是有01=04 例4半径为R的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着， 其内外半径分别为2、，使内球带电q,球壳带电Q,试求： (1)电势分布的表示式： (2)用导线连接球和球壳后的电势分布： (3)外壳接地后的电势分布。 解(1)根据静电平衡条件，导体内场强为零。可知球壳内 表面感应电荷为-q,且均匀分布：导体球所带电量q均匀分布在 导体球表面。由电荷守恒得导体球壳外表面均匀分布电量(Q+q), 所以静电平衡后空间电势分布可视为三个均匀带电球面的电势叠 加。均匀带电球面电势为 U= -r2R) 40 图9一3 所以 Rr≤风，心8是+9劉 R≤r≤R,U3= 9+Q 4TE0R3 4mor 136

136 考虑到  2 + 3 = 0 于是有  1 =  4 例4 半径为R1的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着， 其内外半径分别为 R2、R3，使内球带电 q，球壳带电 Q，试求： （1）电势分布的表示式； （2）用导线连接球和球壳后的电势分布； （3）外壳接地后的电势分布。 解 （1）根据静电平衡条件，导体内场强为零。可知球壳内 表面感应电荷为–q，且均匀分布；导体球所带电量 q 均匀分布在 导体球表面。由电荷守恒得导体球壳外表面均匀分布电量(Q+q)， 所以静电平衡后空间电势分布可视为三个均匀带电球面的电势叠 加。均匀带电球面电势为          = ( ) 4 ( ) 4 0 0 r R r q r R R q U   所以 R1 r  ，         + = − + 0 1 2 3 1 4 1 R q Q R q R q U  1 R2 R  r  ，         + = − + 0 2 3 2 4 1 R q Q R q r q U  2 R3 R  r  ， 0 3 3 4 R q Q U  + = R3 r  ， r q Q U 0 4 4 + = 图 9—3 R1 R2 R3 q Q

(2)导体连接后，导体球带电量q与球壳内表面感应电荷-q 中和，导体壳与导体球等势，电荷分布在导体壳外表面，电量为 9+Q,所以 r≤R3, U'=0'=U,'=9+9 4E。R3 r≥R3, 0=9+g 4mor (3)外壳接地后，外表面电荷g+Q被中和，则为两均匀带 电球面电势叠加 r≤R, 0,"=,19-g〉 4o R R2) R≤r≤R,U2"= 19-4 4匹FR r2R2, U3"=U4"=0 例5已知导体球半径为R,带电量为q。一导体球壳与球 同心，内外半径分别为R2和R,带电量为Q, 如图9一4所示。求： (1)场强的分布： (2)球和球壳的电势和以及它们 的电势差 (3)若球壳接地，1和2以及电势差： (4)用导线连接球与球壳后V1和V2的 图9一4 值。 解(1)先确定电荷的分布：因内球表面带电量为9，则球 壳内表面的感应电荷为-9：又因球壳所带的电量为Q,根据电荷 守恒定律，球壳外表面的带电量一定为q+Q。下面用两种方法求 此带电系统的场强分布。 137

137 （2）导体连接后，导体球带电量 q 与球壳内表面感应电荷–q 中和，导体壳与导体球等势，电荷分布在导体壳外表面，电量为 q + Q ，所以 R3 r  ， 0 3 1 2 3 4 ' ' ' R q Q U U U  + = = = R3 r  ， r q Q U 0 4 4 '  + = （3）外壳接地后，外表面电荷 q+Q 被中和，则为两均匀带 电球面电势叠加 R1 r  ，         = − 0 1 2 1 4 1 '' R q R q r U  1 R2 R  r  ，         = − 0 2 2 4 1 '' R q r q r U  R2 r  ， U3 '' = U4 '' = 0 例 5 已知导体球半径为 R1，带电量为 q。一导体球壳与球 同心，内外半径分别为 R2 和 R3，带电量为 Q， 如图 9—4 所示。求： （1）场强的分布； （2）球和球壳的电势 V1 和 V2 以及它们 的电势差； （3）若球壳接地，V1 和 V2 以及电势差； （4）用导线连接球与球壳后 V1 和 V2 的 值。 解 （1）先确定电荷的分布：因内球表面带电量为 q，则球 壳内表面的感应电荷为-q；又因球壳所带的电量为 Q，根据电荷 守恒定律，球壳外表面的带电量一定为 q+Q。下面用两种方法求 此带电系统的场强分布。 图 9—4 R1 R2 R3 q Q