定义2.3.1.若一个随机试验只有两个可能的结果A和A,则称这个随机试验为贝努里(Bernoulli )试验。记p=P(A)(0<p<1),将这个试验独立的重复做n次，则称这一串独立的试验为n重贝 努里试验。在一次试验中，当结果A发生时，称为一次成功。 在重贝努里试验中，若以X表示成功的次数（即随机事件A发生的次数），则X为一离散型随 机变量。易知X的概率函数为 P(X=k)= p (1 -p)"k=Chpk,=0.1.....n. (2.3.2) 其中q=1-p。称此概率分布为二项分布，并称X服从二项分布，记为X~B(n,p). 例2.3.1.按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品.已知某一大批产品 的一级品率为0.2，现随机地抽查20件产品，问这20件产品中恰有k(k=0,1,·,20)件一级品的概 率是多少。 解：这是不放回抽样，但是由于产品总数很大，而抽取的20件相对于总数来说很小，故我们 可以视为是由放回的抽样。我们检查一个产品相当于作一次试验，抽查20件产品相对于做20次独 立的贝努里试验，若以X表示20件中的一级品个数，则X服从二项分布B(20,0.2),所以 P(X=)=C0.20.820-k,k=0,1,·,20. 例2.3.2.某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02。现独立的重复射击400次，求至少击中两次 的概率。 解：设X表示射击400次中的击中的次数，则X~B(400,0.02)。所以 P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.98400-400*0.02*0.98399=0.9972. 本例说明小概率事件在试验次数足够多时必然发生。 3.几何分布(Geometric distribution) 定义2.3.2.在n重贝努里实验中，当试验次数n→0o时，称为可列重贝努里试验。 若以X表示在可列重贝努里试验中结果A出现时的试验次数，即若以“成功”表示结果A发 生，则X表示首次成功时的试验次数，所以 P(X=k)=g-1p,k=12… (2.3.3) 称此分布为几何分布.记为X~G(p)
½¬ 2.3.1. eòáëÅ£êk¸áåU(JA⁄A¯ßK°˘áëÅ£è„p(Bernoulli )£"Pp = P(A)(0 < p < 1)ßÚ˘á£’·EângßK°˘òG’·£èn „p£"3òg£•ß(JAu)ûß°èòg§ı" 3n„p£•ße±XL´§ıgÍ(=ëÅØáAu)gÍ)ßKXèòl—.ë ÅC˛"¥XV«ºÍè P(X = k) = n k p k (1 − p) n−k = C k np k q n−k , k = 0, 1, · · · , n. (2.3.2) Ÿ•q = 1 − p"°dV«©Ÿèë©Ÿßø°X—lë©ŸßPèX ∼ B(n, p). ~2.3.1. U5½, ,´.“>fá¶^Æ·áL1500ûèò?¨. Æ,òå1¨ ò?¨«è0.2, yëÅ/ƒ20á¨, Ø˘20ᨕTkk(k = 0, 1, · · · , 20)áò?¨V «¥ı" ): ˘¥ÿò£ƒß¥du¨oÍÈåß ƒ20áÉÈuoÍ5`Èß·Ç å±¿è¥dò£ƒ"·Çuòá¨Éuäòg£ßƒ20á¨ÉÈuâ20g’ ·„p£ße±XL´20á•ò?¨áÍßKX—lë©ŸB(20, 0.2)ߧ± P(X = k) = C k 200.2 k 0.8 20−k , k = 0, 1, · · · , 20. ~2.3.2. ,<?1¬ßzg¬·•«è0.02"y’·E¬400g߶ñ¬•¸g V«" ): XL´¬400g•¬•gÍßKX ∼ B(400, 0.02)"§± P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = 1 − 0.98400 − 400 ∗ 0.02 ∗ 0.98399 = 0.9972. ~`²V«Øá3£gÍv ıû7,u)" 3. A¤©Ÿ(Geometric distribution) ½¬ 2.3.2. 3n„p¢•ß£gÍn → ∞ûß°èå„p£" e±XL´3å„p£•(JA—yû£gÍß=e±/§ı0L´(JAu )ßKXL´ƒg§ıû£gÍߧ± P(X = k) = q k−1 p, k = 1, 2, · · · . (2.3.3) °d©ŸèA¤©Ÿ. PèX ∼ G(p). vi
例2.3.3.一个人要开门，他共有把钥匙。其中仅有一把可以打开门。现随机地有放回的从中选取 一把开门，问这人在第S次试开成功的概率。 定理2.3.1.以所有正整数为取值集合的随机变量服从几何分布G(p),当且仅当对任何正整 数m和n,都有 P(ξ>m+n|ξ>m)=P(ξ>n). (2.3.4) 这个性质称为几何分布的无记忆性(memoryless property): 证：设随机变量服从几何分布G(p),写q=1-p,那么对任何非负整数k,都有 P>)=∑P=)=p∑g1= i=k+1 =k+ 所以对任何正整数m和n,都有 P(s>m+nlE>m)=P(>m+n,s>m) P(ξ>m) =P>m+m-+" P(ξ>m) gn=g”=P>n. 故知(2.3.4)式成立. 反之，设对任何正整数m和n,都有(2.3.4)式成立.对非负整数k,我们记pk=P(>).于是 由(2.3.4)式知，对任何正整数k,都有pk>0,并且对任何正整数m和n,都有pm+n=pm·pn·由此 等式立知，对任何正整数m,都有pm=p”.由于p1>0,而若p1=1,则必导致对一切正整数m,都 有pm=1,此为不可能，所以对某个小于1的正数q,有p1=q.由此不难得，对任何正整数m,都有 P(=m)=P(E>m-1)-P(>m)=Pm-1-Pm=qm-1-qm =pqm-1, 其中p=1-q,所以ξ服从几何分布G(p) 我们还可以证明几何分布是唯一的具有无记忆性的取值集合为正整数集的离散型分布. 4.Pascal分布（负二项分布） 在可列重贝努里试验中，若以X,表示第r次成功发生时的试验次数，则X的分布律为 P(X,=)=P({前k-1次恰有r次成功且第k次成功}) =P({前k-1次恰有r次成功})P({第k次成功}) Cgp-1q-r·p =Cgpq-r,k=r,r+1,… vii
~2.3.3. òá<ámÄ,¶knr²"Ÿ•=kòrå±ãmÄ"yëÅ/kò£l•¿ òrmÄßØ˘<31Sg£m§ıV«" ½n 2.3.1. ±§kÍèä8‹ëÅC˛ξ—lA¤©ŸG(p), Ö=È?¤ Ím⁄n,—k P(ξ > m + n | ξ > m) = P(ξ > n). (2.3.4) ˘á5ü°èA¤©ŸÃP£5(memoryless property). y:ëÅC˛ξ—lA¤©ŸG(p),q = 1 − p,@oÈ?¤öKÍk,—k P(ξ > k) = X∞ j=k+1 P(ξ = j) = p X∞ j=k+1 q j−1 = q k . §±È?¤Ím⁄n,—k P(ξ > m + n | ξ > m) = P(ξ > m + n, ξ > m) P(ξ > m) = P(ξ > m + n) P(ξ > m) = q m+n q n = q n = P(ξ > n). (2.3.4)™§·. áÉ,È?¤Ím⁄n,—k(2.3.4)™§·.ÈöKÍk,·ÇPpk = P(ξ > k) . u¥ d(2.3.4)™,È?¤Ík,—kpk > 0,øÖÈ?¤Ím⁄n,—kpm+n = pm · pn . dd ™·,È?¤Ím,—kpm = p m 1 .dup1 > 0, ep1 = 1,K7óÈòÉÍm, — kpm = 1,dèÿåU,§±È,áu1Íq,kp1 = q.ddÿJ,È?¤Ím,—k P(ξ = m) = P(ξ > m − 1) − P(ξ > m) = pm−1 − pm = q m−1 − q m = p qm−1 , Ÿ•p = 1 − q,§±ξ—lA¤©ŸG(p). ·ÇÑå±y²A¤©Ÿ¥çò‰kÃP£5ä8‹èÍ8l—.©Ÿ. 4. Pascal©Ÿ(Kë©Ÿ) 3å„p£•ße±XrL´1rg§ıu)û£gÍßKXr©ŸÆè P(Xr = k) = P({ck − 1gTkrg§ıÖ1kg§ı}) = P({ck − 1gTkrg§ı})P({1kg§ı}) = C r−1 k−1 p r−1 q k−r · p = C r−1 k−1 p r q k−r , k = r, r + 1, · · · . vii
称此概率分布为Pascal分布。如果记 pk =Ck-ip'qe-,k=r;r+1.. (2.3.5) 那么显然有 立m=2c=nca=pu-gr=1. k- 所以(2.3.5)式的确是一个离散型随机变量的分布律.我们将其称为参数为p和r的Pascal分布.又因 为上式表明，它可以用负二项展开式中的各项表示，所以又称为负二项分布. 例2.3.4.(Banach.火柴问题)某人口袋里放有两盒火柴，每盒装有火柴n根.他每次随机取出一 盒，并从中拿出一根火柴使用试求他取出一盒，发现已空，而此时另一盒中尚余r根火柴的概率. 解：以A表示甲盒已空，而此时乙盒中尚余π根火柴的事件.由对称性知，所求的概率等于2P(A).我 们将每取出甲盒一次视为取得一次成功，以表示取得第+1次成功时的取盒次数，则服从参数 为0.5和n+1的Pascal分布（因为每次取出甲盒的概率是0.5）.易知，事件A发生，当且仅当等 于2n-r+1.所以所求的概率等于 2P(A)=2P(=2n-r+1)=C-r2-2m 例2.3.5.在可列重贝努里试验中，求事件E={n次成功发生在m次失败之前}的概率。 解：记F={第次成功发生在第k次试验}，则 n十m-] E=U Fk k=n 且诸F两两互斥，故 n+m-1 7+mm-1 P(E)= ∑P)=∑ CR-ip"qn-k k= -n 5.Possion分布 设随机变量X的概率分布为 入k PX=周=府e入k=01,2, (2.3.6) 称此分布律为参数为入的Poisson分布，并记X~P(A)。 viii
°dV«©ŸèPascal©Ÿ"XJP pk = C r−1 k−1 p r q k−r , k = r, r + 1, · · · (2.3.5) @ow,k X∞ k=r pk = X∞ k=r C r−1 k−1 p r q k−r = p rX∞ k=0 C r−1 r+k−1 q k = p r (1 − q) −r = 1 , §±(2.3.5)™(¥òál—.ëÅC˛©ŸÆ.·ÇÚŸ°èÎÍèp⁄rPascal©Ÿ. qœ è˛™L²,ßå±^Kë–m™•àëL´,§±q°èKë©Ÿ. ~2.3.4. ( BanachªØK),<ùïpòk¸›ª,z›Ckªnä.¶zgëÅ—ò ›,øl•<—ò䪶^.£¶¶—ò›,uyÆò, dû,ò›•ˇ{räªV«. ):±AL´`›Æò, dûØ›•ˇ{räªØá.dÈ°5,§¶V« u2P(A).· ÇÚz—`›òg¿èòg§ı,±ξL´1n + 1g§ıû›gÍ,Kξ—lÎÍ è0.5⁄n + 1 Pascal ©Ÿ(œèzg—`›V«¥0.5).¥,ØáAu),Ö=ξ u2n − r + 1.§±§¶V« u 2P(A) = 2P(ξ = 2n − r + 1) = C n 2n−r2 r−2n . ~2.3.5. 3å„p£•ß¶ØáE ={ng§ıu)3mgî}Éc}V«" ): PFk={1ng§ıu)31kg£},K E = n+ [m−1 k=n Fk ÖÃFk¸¸p½ß P(E) = n+ Xm−1 k=n P(Fk) = n+ Xm−1 k=n C n−1 k−1 p n q n−k . 5. Possion©Ÿ ëÅC˛XV«©Ÿè P(X = k) = λ k k! e −λ , k = 0, 1, 2, · · · . (2.3.6) °d©ŸÆèÎÍèλPoisson ©ŸßøPX ∼ P(λ)" viii
定理2.3.2.(Poisson定理)设有一列二项分布B(m,pn),其中的参数满足条件 lim npn=入>0， (2.3.7） n→Cd 则对任何非负整数k都有 n,p)=lin Chpn(pn)e (2.3.8) 证：易知，对每个固定的非负整数k,有 n! cnm.-m-卡=-Pm1-ph- =(-)(-)(-,）-*ma-r. 在条件(2.3.7)之下，对固定的非负整数k,显然有 典（1-)(0-)(1-元)-t=1 和lim(npn)=Xk.因此为证结论，只需证明 n→d lim(1-pn)r=e-入 (2.3.9) 众所周知，有，1m(1-六)”=e入因此若要证明(23.9)，就只要证明 1-pn)”=1m(1-Ar 2→ → 显然有1-pn<1,而当n充分大时，也有1-<1.我们知道，对a≤1,1≤1，有初等不等 式an-b”叫≤na-b成立，结合条件(2.3.7)，便知当n→0o时，有 0-m)严-1-Ar≤nm-A=pm-川→0. 所以(2.3.9)式成立，定理证毕 例2.3.6.假设一块放射性物质在单位时间内发射出的a粒子数服从参数为λ的Poisson分布。而每 个发射出来的a粒子被记录下来的概率是p,就是说有q=1-p的概率被记数器漏记。如果各粒子 是否被记数器记录是相互独立的，试求记录下来的α粒子数n的分布。 解：以事件{ξ=n},n=01,2,…为划分，则由全概率公式有 P(I=)= ∑P==m)P飞=m) n= n=k 、eo=k 得e-0,k=0,1,2…# iX
½n 2.3.2. (Poisson ½n)kòë©ŸB(n, pn),Ÿ•Î͘v^á limn→∞ npn = λ > 0 , (2.3.7) KÈ?¤öKÍk—k limn→∞ b(k; n, pn) = limn→∞ C k npn k (1 − pn) n−k = e −λ λ k k! . (2.3.8) y:¥,Èzá½öKÍk,k C k npn k (1 − pn) n−k = n! k! (n − k)!pn k (1 − pn) n−k = 1 k! 1 − 1 n 1 − 2 n · · · 1 − k − 1 n (1 − pn) −k (npn) k (1 − pn) n . 3^á(2.3.7)Ée,ȽöKÍk,w,k limn→∞ 1 − 1 n 1 − 2 n · · · 1 − k − 1 n (1 − pn) −k = 1 ⁄ limn→∞ (npn) k = λ k . œdèy(ÿ, êIy² limn→∞ (1 − pn) n = e −λ . (2.3.9) ا±,k limn→∞ (1 − λ n ) n = e −λ .œdeáy²(2.3.9),“êáy² limn→∞ (1 − pn) n = limn→∞ (1 − λ n ) n . w,k|1 − pn| < 1, nø©åû,èk|1 − λ n | < 1.·Ç,È|a| ≤ 1, |b| ≤ 1,k– ÿ ™|a n − b n | ≤ n|a − b|§·,(‹^á(2.3.7),Bn → ∞û,k (1 − pn) n − (1 − λ n ) n ≤ n|pn − λ n | = |npn − λ| → 0 . §±(2.3.9)™§·,½ny.. ~2.3.6. bò¨ò5‘ü3¸†ûmSu—α‚fÍξ—lÎÍèλPoisson©Ÿ" z áu—5α‚fP¹e5V«¥pß“¥`kq = 1 − pV«PÍ϶P"XJà‚f ¥ƒPÍÏP¹¥Ép’·ß£¶P¹e5α‚fÍη©Ÿ" ): ±Øá{ξ = n}, n = 0, 1, 2, · · · èy©ßKd V«˙™k P(η = k) = X∞ n=0 P(η = k|ξ = n)P(ξ = n) = X∞ n=k n k p k q n−k λ n n! e −λ = X∞ n=k (λq) n−k k!(n − k)!e −λ (λp) k = (λp) k k! e −λp, k = 0, 1, 2, · · · .# ix
2.3.2常见连续型分布 l.均匀分布(Uniform distribution)设a<b,如果分布F(x)具有密度函数 1 pl)=6aa≤x≤b, (2.3.10) 则称该分布为区间[a,b上的均匀分布，记作U[a,b.如此定义的(x)显然是一个概率密度函数，容易 算出其相应的分布函数为 0, x≤a, F(x a<x≤b, 1. x>b. 2.指数分布(Exponential distribution)如果分布F(x)具有密度函数 -{8 (2.3.11) 0,x<0 则称该分布为期望为1/A的指数分布。记为exp{入}· 与几何分布类似，指数分布也是一种“无记忆分布”，并且是唯一的无记忆的连续型分布，对此 我们有 定理2.3.3.如果为取非负实数值的随机变量，则服从指数分布，当且仅当， P(ξ>s+t|ξ>s)=P(ξ>t),Hs>0,t>0. (2.3.12) 例2.3.7.设X表示某种电子元件的寿命，F(x)为其分布函数。若假设元件无老化，即元件在时 刻x正常工作的条件下，其失效率保持为某个常数入，与x无关。试证明X服从指数分布。 解：失效率即单位时间内失效的概率，因此由题设知 P(x≤X≤x+hX>x)/h=λ，h→0 因为 Pe≤X≤r+hMX>)=P{≤X≤t+X>》=Fe+)-F回 P(X>) 1-F(x) 所以有 F(x) Pe≤X≤x+X>/h=-F阿=入 即得到微分方程品=入，解此方程得到 F(x)=1-e-z X
2.3.2 ~ÑÎY.©Ÿ 1. ˛!©Ÿ(Uniform distribution) a < b,XJ©ŸF(x)‰kó›ºÍ p(x) = 1 b − a , a ≤ x ≤ b , (2.3.10) K°T©Ÿè´m[a, b]˛˛!©Ÿ,PäU[a, b]. Xd½¬p(x)w,¥òáV«ó›ºÍ,N¥ é—ŸÉA©ŸºÍè F(x) = 0, x ≤ a, x−a b−a , a < x ≤ b, 1, x > b. 2. çÍ©Ÿ(Exponential distribution) XJ©ŸF(x)‰kó›ºÍ f(x) = ( λe−λx, x ≥ 0 0, x < 0 (2.3.11) K°T©Ÿèœ"è1/λçÍ©Ÿ"Pèexp{λ}. ÜA¤©Ÿaq, çÍ©Ÿè¥ò´“ÃP£©Ÿ”,øÖ¥çòÃP£ÎY.©Ÿ, Èd ·Çk ½n 2.3.3. XJξèöK¢ÍäëÅC˛, Kξ—lçÍ©Ÿ, Ö=, P(ξ > s + t | ξ > s) = P(ξ > t), ∀ s > 0, t > 0. (2.3.12) ~2.3.7. XL´,´>fáÆ·ßF(x)蟩ŸºÍ"ebáÃPzß=á3û èx~Ûä^áeߟè,á~ÍλßÜxÃ'"£y²X—lçÍ©Ÿ" )µî«=¸†ûmSîV«ßœddK P(x ≤ X ≤ x + h|X > x)/h = λ, h → 0 œè P(x ≤ X ≤ x + h|X > x) = P({x ≤ X ≤ x + h}{X > x}) P(X > x) = F(x + h) − F(x) 1 − F(x) §±k lim h→0 P(x ≤ X ≤ x + h|X > x)/h = F 0 (x) 1 − F(x) = λ =á©êß F 0 (x) 1−F(x) = λ,)dêß F(x) = 1 − e −λx x