§4-6克龙尼克一潘纳 (Kronig-Penney )模型 布洛赫定理说明了晶体中电子波的共性,即均为调 幅平面波。但当不知道周期势V(x)的具体形式时,无 法计算电子的能量E、波函数ψ的微扰项,禁带宽度, 紧束缚模型中的B值。 克龙尼克一潘纳模型是周期性势场为一维方势阱的特例
§4-6 克龙尼克－潘纳 （Kronig-Penney）模型 布洛赫定理说明了晶体中电子波的共性，即均为调 幅平面波。但当不知道周期势V(x)的具体形式时，无 法计算电子的能量E、波函数ψ的微扰项，禁带宽度， 紧束缚模型中的B值。 克龙尼克－潘纳模型是周期性势场为一维方势阱的特例
克龙居克-潘纳模型势 在一b<<0区域,粒子的势能 v(a) 0当0<<e V当一b<物<0 在其他区域,粒子的势能为V(a}=V(如-ma),其中m为任意整数
根据 Bloch定理 y(k, x)=u(k, x)el ikx 其中 u(k, x)=u(k x+na) 代入薛定谔方程 2 2m v2 y(h, x)+[E-V(x)] y(k, x)=0
根据Bloch定理 （k ,x）＝u（k，x）e ikx 其中 u（k，x）＝u（k ,x+na） 代入薛定谔方程 2m 2 2 (k,x)＋E －V(x) (k, x)＝0
经过整理得到U(x)满足的方程 d2u dxf(E-vo)-k2Ju=0 +2认=+ (1) 在势场的突变点,波函数及它的导数 ikx d+ikelkxu(x) (2) dx 必须连续,实际上要求函数u(x)和它的导数连续, 下面分不同区域求出u(x)的表达式
在势场的突变点，波函数及它的导数 经过整理得到U（x)满足的方程 ( ) ] 0 2 2 [ 2 0 2 2 2 + + E −V − k u = m dx du ik dx d u ike u(x) dx du e dx d = ikx + ikx 必须连续，实际上要求函数u(x)和它的导数连续， 下面分不同区域求出u(x)的表达式 （1） （2）
1在区域0<x≤c,势能v0=0(m=0) 2mE 设 (3) U(x)满足的方程(1) .2m d r2+2ik x 分(E-V0)-k2m=0 成为 u a2+2ik+[a2-k2a=0(4) dx 其解为u(x)=4e(ax+Be-(a+)x 其中A和B是n=0时的待定系数
1.在区域0<x<c,势能V0＝0 (n=0) 其中A0和B0是n=0时的待定系数。 设 2 2 2 = mE （3） U(x)满足的方程（1） （1） 成为 2 [ 2 2 ] 0 2 2 + + − k u = dx du ik dx d u 其解为 i k x i k x u x A e B e ( ) 0 ( ) 0 ( ) = − + − + （4） （5） ( ) ] 0 2 2 [ 2 0 2 2 2 + + E −V − k u = m dx du ik dx d u