第5章动能定理 在笛卡儿提出动量守恒原理后42年,德国数学家、哲 学家莱布尼兹( Leibniz,1646~1716)提出了“活力”概 念及“活力”守恒原理。和笛卡儿一样,莱布尼兹也相信 宇宙中运动的总量必须保持不变,不过和笛卡儿不同,他 认为应该用mv2表示这个量,而不是n my 莱布尼兹与笛卡儿关于mv2和mv之争,在历史上曾 门逐渐明白,这 类A是两种不同的守恒规律,菜布尼的“活力”守恒应归 结为机械能守恒。 下面我们从现代的观点对这些概念一一地予以重新定 义
第5章 动能定理 在笛卡儿提出动量守恒原理后42年，德国数学家、哲 学家莱布尼兹（Leibniz，1646~1716）提出了“活力”概 念及“活力”守恒原理。和笛卡儿一样，莱布尼兹也相信 宇宙中运动的总量必须保持不变，不过和笛卡儿不同，他 认为应该用 mv 2 表示这个量，而不是 mv。 莱布尼兹与笛卡儿关于 mv 2 和 mv 之争，在历史上曾 经历相当长时期的混乱，一百多年后，人们逐渐明白，这 是两种不同的守恒规律，莱布尼兹的“活力” 守恒应归 结为机械能守恒。 下面我们从现代的观点对这些概念一一地予以重新定 义
牛顿一动量、机 械能守恒 笛卡尔一动量守恒 莱布尼兹一“活 力”守恒
笛卡尔─动量守恒 莱布尼兹─“活 力”守恒 牛顿─动量、机 械能守恒
5.1动 质点动能定理 我们知道,力的冲量可以使物体(质点)的动量发生改变;力 又是如何使物体的动能发生改变的呢?为此,我们计算一下单位时 间动能的改变。 对于直线运动,考虑物体在力的作用下动能的改变,我们有: de mv2=my dv ev=F dE = FY de= fds 这是元过程的表达式,对于有限过程,则可以两边积分得: Ek-Exo2mv-)mv=Fds
质点动能定理 我们知道，力的冲量可以使物体（质点）的动量发生改变；力 又是如何使物体的动能发生改变的呢？为此，我们计算一下单位时 间动能的改变。 对于直线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我们有： dt ds Fv F dt dv mv mv dt d dt dEk = = = = 2 2 1 Fv dt dEk = dE Fds 即： k = 这是元过程的表达式，对于有限过程，则可以两边积分得： − = − = t t Ek Ek mv mv Fds 0 2 0 2 0 2 1 2 1
质点动能定理 对于一般的曲线运动,考虑物体在力的作用下动能的改变,我 们有 de. d(1 1m2)=m。w=Fy=Fr dt 即: dE = =FV dE=F·dr 由上式知,动能的时间变化率等于作用在物体上的作用力与速 度的标积。由于能量概念的重要性,我们把my22称为动能,把 F*v称作力传递给物体的功率。以P表示功率,有 P=F●v 因此,上述结论又可以说成:一个物体动能的时间变化率等于作用 在该物体上的力传递给物体的功率。我们把F*dr称作力对物体作 的元功。对上式积分得: △Ek=EAE6=m()-mv2()=JFdr=」, Fcos e 2
质点动能定理 对于一般的曲线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我 们有： dt d dt d mv m dt d dt dEk r F v F v = v • = • = • = 2 2 1 即： = F • v dt dEk dE F dr k = • 由上式知，动能的时间变化率等于作用在物体上的作用力与速 度的标积。由于能量概念的重要性，我们把mv2 /2 称为动能，把 F﹡v称作力传递给物体的功率。以P 表示功率，有： P = F• v 因此，上述结论又可以说成：一个物体动能的时间变化率等于作用 在该物体上的力传递给物体的功率。我们把F﹡dr 称作力对物体作 的元功。对上式积分得： = − = − = • = t t t Ek Ek Ek m v t m v t d F ds t 0 2 2 0 0 0 ( ) cos 2 1 ( ) 2 1 F r
质点动能定理 △EA=E、WNm2()-mv(o) 2 JF·dr= Fcos 8 ds 此式右边的积分被称为作用于物体的力所做的功,通常把该式称为 质点动能定理:即作用于物体上的合力所做的功等于物体在此过程 中动能的增量。动能定理本质上是能量守恒定律在牛顿力学范畴内 的一种表述。 小结:力的空间累积效应是使物体的动能改变
质点动能定理 = − = − = • = t t t Ek Ek Ek m v t m v t d F ds t 0 2 2 0 0 0 ( ) cos 2 1 ( ) 2 1 F r 此式右边的积分被称为作用于物体的力所做的功，通常把该式称为 质点动能定理：即作用于物体上的合力所做的功等于物体在此过程 中动能的增量。动能定理本质上是能量守恒定律在牛顿力学范畴内 的一种表述。 小结：力的空间累积效应是使物体的动能改变