§4—2布洛赫(Boch)定理 求晶体中的电子态,要解定态薛定谔方程 2V2v(k,r)+[E-V(r)v(k,r)=0 其中势能函数V(r)具有晶格周期性,即 V(r-V(r+R) V(r+ ai+n,a2+n3 a3
§4－2布洛赫（Bloch）定理 求晶体中的电子态，要解定态薛定谔方程 2 (k,r)＋E －V(r) (k,r)＝0 其中势能函数V(r)具有晶格周期性，即 V(r)＝V（r＋Rn） ＝V（r+n1 a1+n2 a2+n3 a3） 2m 2
布洛赫定理 晶体中的电子波函数是按照晶格周期 性进行的调幅平面波 即(以一维为例) y(k, x-u(k, x) elkx 其中 u(k, x =u(k tna) 晶体中的电子波又称为 Bloch波
一．布洛赫定理 即（以一维为例） （k ,x）＝u（k，x）e ikx 其中 u（k，x）＝u（k ,x+na） 晶体中的电子波又称为Bloch波。 晶体中的电子波函数是按照晶格周期 性进行的调幅平面波
讨论: 1.电子出现的几率具有正晶格的周期性 v(k,x)|2=|u(k,x)|2 I y (k, x+na)2= u(k x+na)| u (k, x=u(k xtra) y(k,x)|2=|y(k,x+na)2
讨论： ∣（k ,x）∣2＝∣u（k，x）∣2 ∣（k ,x＋na）∣2=∣u（k ,x+na）∣2 ∵ u（k，x）= u（k ,x+na） ∴∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2 1．电子出现的几率具有正晶格的周期性
2.布洛赫定理的另一种表示 y(k, x+na)=y(k, x) eikna
2. 布洛赫定理的另一种表示 （k ,x+na）＝（k ,x）e ikna
证明: y(k, X)=u(k, X) elkx u (k, x =u(k tna) 得:u(k,x)=y(k,x)elkx u(k, x+na )=y(k, x+na) e-k(xtna e ikx Te-Ikna y (k, tna)1(B 比较(A)(B)二式,左右分别相等 (k, x+na)=v(k x) elkna 以上证明各步均可逆,故 Bloch定理的两种表示 等价
以上证明各步均可逆，故Bloch定理的两种表示 等价。 证明: ∵ （k ,x）＝u（k，x）e ikx u（k，x）＝u（k ,x+na） 比较（A）（B）二式，左右分别相等 ∴ （k ,x+na）＝（k ,x）e ikna 得：u（k，x）＝（k,x）e -ikx (A) u（k ,x+na）=（k ,x+na）e -ik(x+na) = e -ikx [e-ikna （k ,x+na）] (B)