§3-3晶格振动量子化与声子 07 问题的提出 在简谐近似下,晶体中存在3Ns个 的简谐格波,晶体中任一原子的实际振动状 态由这3NS个简谐格波共同决定,那么 晶格振动的系统能量是否可表示成 3NS个独立谐振子能量之和?
§3-3 晶格振动量子化与声子 问题的提出： 在简谐近似下，晶体中存在3NS个独立 的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动状 态由这3NS个简谐格波共同决定，那么， 晶格振动的系统能量是否可表示成 3NS个独立谐振子能量之和？
一、晶格振动和谐振子 1.系统能量的普遍表示 一维单原子链中,平衡时距原点为na的 原子,时刻的绝对位移是q所有可能的N 个值的特解的线性叠加: U ( A e gnaea t e 2
2 2 一、晶格振动和谐振子 1．系统能量的普遍表示 一维单原子链中，平衡时距原点为na的 原子，t时刻的绝对位移是q所有可能的N 个值的特解的线性叠加： ( ) i(qna t) q Un t Aq e − ＝ ( ) iqna q ＝ Aq t e
其中A(t)= A-e-iot。按经典力学系 统的总能量为动能和势能之和 B E=7+=∑mUn+ 2 (Um-UM) 该表示式中有(Un+×Un)的交又项 存在,对建立物理模型和数学处理都带 来困难。用坐标变换的方法 消去交叉项
其中Aq（t）＝Aq e -iωt 。按经典力学系 统的总能量为动能和势能之和： + + ( − ) + • n n n n E T W m Un U U 2 1 2 2 2 1 ＝ ＝ 该表示式中有（Un+1×Un）的交叉项 存在，对建立物理模型和数学处理都带 来困难。用坐标变换的方法 消去交叉项
2.坐标变换(变量置换)设 U,0)∑QGkm √m (3-51) 式中Qn()称为简正坐标,容易证明: qana=NS 29 ∑c(nm)=NS nn 352)
2．坐标变换（变量置换） 设 ( ) ( ) q iqna n q Q t e Nm U t 1 ＝ （3－51） 式中Qq (t)称为简正坐标，容易证明： （3－52） ( ') , i q q na q q n e N − ＝ ’ ( ') , i n n qa n n q e N − ＝ ’
证明要点: q=q时,显然成立; q≠q时,为等比级数求和,即可证。 由式(3-51),(3-52)可得 U2()∑Qn(km 17a (3—513) a,()√x∑, Lgnd (3-53) 70 ONnc >UnOegndao(3-53)
证明要点： q=q ’时，显然成立； q≠q ’时，为等比级数求和，即可证。 由式（3－51），（3－52）可得 ( ) ( ) − q iqna n Qq t e Nm U t 1 ＝ ( ) ( ) iqna n q Un t e N m Q t ＝ − ( ) ( ) iqna n q Un t e N m Q t ＝ （3－51’） （3－53’） （3－53）