不定积分 例如：因为(x2)=2x, 所以x2是2x的一个原函数。 因为(x2+1)}=2x,所以x2+1也是2x的一个原函数。 因为(x2-2)}'=2x,所以x2-2也是2x的一个原函数。 因为(x2+V7=2x,所以x2+V7也是2x的一个原函数。 一般地，(x2+C)'=2x, 所以x2+C 也是2x的原函数。 可见，函数2x的原函数不止一个，而且有无穷多个。 对于一般的函数，有如下定理：
例如： 因为 𝒙 𝟐 ′ = 𝟐𝒙, 所以𝒙 𝟐是𝟐𝒙的一个原函数。 因为 𝒙 𝟐 + 𝟏 ′ = 𝟐𝒙, 所以𝒙 𝟐 + 𝟏也是𝟐𝒙的一个原函数。 . 一般地， 所以𝒙 𝟐 + 𝑪 也是𝟐𝒙的原函数。 可见，函数𝟐𝒙的原函数不止一个，而且有无穷多个。 对于一般的函数，有如下定理： 因为 𝒙 𝟐 − 𝟐 ′ = 𝟐𝒙, 所以𝒙 𝟐 − 𝟐也是𝟐𝒙的一个原函数。 因为 𝒙 𝟐 + 𝟕 ′ = 𝟐𝒙, 所以𝒙 𝟐 + 𝟕也是𝟐𝒙的一个原函数。 𝒙 𝟐 + 𝑪 ′ = 𝟐𝒙
不定积分 定理：若函数f(x)在区间I上有一个原函数F(x),则f(x) 在区间I上就有无穷多个原函数，并且F(x)+C表示f(x) 的全体原函数。 证明：·F'(x)=f(x),·[F(x)+C]'=f(x), 所以F(x)+C也是f(x)的原函数.(C为任意常数) 由于这样的任意常数有无穷多个，所以原函数也就有无穷多个。 另一方面，若G(x)是f(x)在区间1上的任意一个原函数. 则：[G(x)-F(x)]'=G(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 .G(x)-F(x)=C,EG(x)=F(x)+C
定理：若函数𝒇(𝒙)在区间 𝑰 上有一个原函数𝑭(𝒙)，则𝒇(𝒙) 在区间 𝑰 上就有无穷多个原函数，并且𝑭(𝒙) + 𝑪表示𝒇(𝒙) 的全体原函数。 由于这样的任意常数有无穷多个，所以原函数也就有无穷多个。 证明： ∵ 𝑭 ′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 , ∴ [𝑭 𝒙 + 𝑪]′ = 𝒇 𝒙 , 另一方面，若𝑮 𝒙 是𝒇(𝒙)在区间𝑰上的任意一个原函数. 所以𝑭 𝒙 + 𝑪也是𝒇(𝒙)的原函数.(C为任意常数) 则∵ 𝑮 𝒙 − 𝑭 𝒙 ′ = 𝑮 ′ 𝒙 − 𝑭 ′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 − 𝒇 𝒙 = 𝟎 ∴ 𝑮 𝒙 − 𝑭 𝒙 = 𝑪，即𝑮 𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪
不定积分 说明：任意两个原函数之间只相差一个常数. 对于问题2，我们直接给出下面结论： 定理：若函数f(x)在某区间上连续， 则f(x)在该区间上的原函数必定存在
说明：任意两个原函数之间只相差一个常数. 对于问题2，我们直接给出下面结论： 定理：若函数𝒇(𝒙) 在某区间上连续， 则 𝒇(𝒙) 在该区间上的原函数必定存在
不定积分 例1：已知f(x)的一个原函数为lnx,则 T)-(nxy f=rs是 f(x)dx Inx+c
例1：已知𝒇(𝒙)的一个原函数为𝒍𝒏𝒙,则 𝒇 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 = (𝒍𝒏𝒙)′ = 𝟏 𝒙 (𝒍𝒏𝒙)′′ = − 𝟏 𝒙 𝟐 න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏𝒙 + 𝑪