第1章复数和平面点集 复变函数这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的.本 章内容是中学复数知识的复习和补充. 1.1复数 1.1.1复数集 我们知道，由于负数在实数范围内不能开平方，就由关系 =一1引进了虚单位=√一.并把由一切有序实数对(x,y)所确 定的集合 {elg-x+iy,x,y∈R} 称为复数集.实数x,y分别称为复数~=x十y的实部及虚部， 记作 x =Rez,y Imz. 特别地，当lmz=0时，x=Rez=x是实数；当Rez=0且mz≠0 时，之=imz=iy称为纯虚数. 两个复数相等，是指它们的实部和虚部分别相等.如果一个复 数的实部和虚部都等于零，就称这个复数等于零.两个复数x十iy 和x一y称为相互共轭，如果其中一个用z表示，则另一个用乏表 示.显然，实数的共轭仍为该实数。 设有两个复数=1十i当和x2=x2十iy2,它们的四则运算规 则定义如下： 1)加法和减法.刘及2的和与差分别为 十2=(x1十x2)+i(yM1+y2) 及 -2=(x1-x2)+i(M-y2)
第!章 复数和平面点集 复变函数这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的!本 章内容是中学复数知识的复习和补充! !"! 复!!数 !"!"! 复数集 我们知道!由于负数在实数范围内不能开平方!就由关系 #$%&!引进了虚单位#% &! 槡 !并把由一切有序实数对""!##所确 定的集合 $$%$&"'##!"!#"#% 称为复数集!实数"!# 分别称为复数$%"'## 的实部及虚部! 记作 "&()$! #&*+$! 特别地!当*+$%,时!$%()$%"是实数&当 ()$%,且*+$#, 时!$%#*+$%##称为纯虚数! 两个复数相等!是指它们的实部和虚部分别相等!如果一个复 数的实部和虚部都等于零!就称这个复数等于零!两个复数"'## 和"&##称为相互共轭!如果其中一个用$表示!则另一个用$$表 示!显然!实数的共轭仍为该实数! 设有两个复数$!%"!'##! 和$$%"$'##$!它们的四则运算规 则定义如下' !#加法和减法!$! 及$$ 的和与差分别为 $! '$$ & ""! '"$#'#"#! '#$# 及 $! ($$ & ""! ("$#'#"#! (#$#! -
2)乘法.和2相乘，可以按多项式的乘法法则来进行，只 是必须将结果中的？代之以一1，即 1·x2=(x1x2-y1y2)+i(x12十x2M) 特别地，当=x十iy时，有 远=x2十y2. 通常，称非负实数x十y为复数x的模，记为||.于是，上式可 写成 2=|x12. 3)除法.刘除以2(2≠0)的商定义为 刘= 2322 =☑十iy)(xg-iy) 1212 =西+h2）十i(z2y-) x22+y22 读者很容易利用乘法运算规则直接验证，这样定义的除法运 算是乘法运算的逆运算，即有 2·4= 由上面的运算规则可见，复数运算满足下列规律：设，2， 是复数，则 为十2=2十， ·2=2·(交换律)： (3十2)十3=为1十(2十3)， （·2)·3=·(2·)(结合律)； 刘(2十3)=2十3（分配律) 1.1.2共轭复数 共轭复数的运用，在复数运算上有着特殊的意义.先把它的 些运算性质罗列如下： 1)=2； 4
!!$#乘法!$! 和$$ 相乘!可以按多项式的乘法法则来进行!只 是必须将结果中的#$ 代之以&!!即 $!($$ & ""!"$ (#!#$#'#""!#$ '"$#!#! !!特别地!当$%"'##时!有 $$$&"$ '#$! 通常!称非负实数 槡"$'#$为复数$的模!记为%$%!于是!上式可 写成 $$$&%$%$! !!-#除法!$! 除以$$"$$#,#的商定义为 $! $$ &$!$$$ $$$$$ & ""! '##!#""$ (##$# %$$%$ & ""!"$ '#!#$#'#""$#! ("!#$# "$ $ '#$ $ ! !!读者很容易利用乘法运算规则直接验证!这样定义的除法运 算是乘法运算的逆运算!即有 $$($! $$ &$!! !!由上面的运算规则可见!复数运算满足下列规律'设$!!$$!$- 是复数!则 $! '$$ &$$ '$!! $!($$ &$$($! "交换律#& "$! '$$#'$- &$! '"$$ '$-#! "$!($$#($- &$!("$$($-#"结合律#& $!"$$ '$-#&$!$$ '$!$- "分配律#! !"!"$ 共轭复数 共轭复数的运用!在复数运算上有着特殊的意义!先把它的一 些运算性质罗列如下' !#$&%$&
2)之十=2Re2,之-=2mz; 3)1士22=1士2； 0网=（月）=高： 5)x=(Re2)2+(1mz)2=|z|2. 这些性质都不难证明，留给读者做练习.此外，由性质2)的第 二个式子可知，复数之是实数的充分必要条件为x=;由性质2)的 第一个式子得知，之是纯虚数的充分必要条件为x=一，且≠0. 例1设x=x十iy,y≠0，y≠士i.证明：当且仅当x2+y2=1 时1十之是实数 证千之是实数等价于 1+22 多 2十2=十2， 亦即 (2-)(1-泛)=0. 因y≠0，故2iy=2一≠0，从而 1-返=0， 1x12=1, 多 x2+y2=1. 由于上述推导的每一步都是可逆的，故命题得证」 例2设1,2为任意复数，证明恒等式 1)1x2|=|12=|x1·2l; 2)|x1十x2|2=|≈1l2+|2|2+2Re(x12). 证1)由共轭复数的性质，有 |212|=√12·刘2 =√灯网·22 5
$#$'$$%$()$!$&$$%$*+$& -#$!/$$%$$!/$$$& .#$!$$%$$!($$$! $! " # $$ %$$! $$$ & 0#$$$%"()$#$'"*+$#$%%$%$! 这些性质都不难证明!留给读者做练习!此外!由性质$#的第 二个式子可知!复数$是实数的充分必要条件为$%$$&由性质$#的 第一个式子得知!$是纯虚数的充分必要条件为$%&$$!且$#,! 例! 设$%"'##!##,!##/#!证明'当且仅当"$'#$%! 时! $ !'$$是实数! 证 $ !'$$是实数等价于 $ !'$$ & $ " # !'$$ & $$ !'$$$! 即 $'$$$$ &$$'$$$$! 亦即 "$($$#"!($$$#&,! 因##,!故$##%$&$$#,!从而 !($$$&,! %$%$ &!! 即 "$ '#$ &!! !!由于上述推导的每一步都是可逆的!故命题得证! 例$ 设$!!$$ 为任意复数!证明恒等式 !#%$!$$%%%$!$$$%%%$!%(%$$%& $#%$!'$$%$%%$!%$'%$$%$'$()"$!$$$#! 证 !#由共轭复数的性质!有 %$!$$$%& 槡$!$$$($!$$$ & 槡$!$$!($$$$$ 0
=1l21. 同理 |21=|1|2 2)因为 |十212=(1十2)（十2） =（1十2)(1十2) =|112十|2|2十12十21， 又 2十2=刘13十（(12) =2Re(12), 所以 |1十2|2=|112+|212十2Re(12). 例3试证明实系数多项式的根共轭存在. 证设。是n次多项式 P()=+a11十.+a-1e+an 的根，其中，各系数a1,a2,.,an都是实数.由共轭复数的性质，有 P(0)=()"十a1()r十.十a-10十a =+a10可+.+a阿不+a。 =0"十a120十.十ar10十an =P(o) =0. 这就证得也是P()的根， 1.1.3关于复数模的不等式 不等式是复变函数中的一个重要工具，常用的基本不等式有 DlssIRa+d: 2)1川|-|2I川≤|a1士x2l≤|a1+|2l: 3)|1十2十.十xnl≤|1|+|2|+.+|n. 不等式1)的成立是显然的.不等式2)在中学里通常是用几何方法 6
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