数学物理方法 严镇军编著 中国科学技术大学出版社
书 数学物理方法 严镇军 编著 中国科学技术大学出版社
前言 本书是在中国科学技术大学一些“偏工”的系及专业使用的数 学物理方法讲义的基础上编写的.原讲义写于1980年，18年间重 印了3次，每次重印都作了一些修改.开设这门课的目的，是为了 适应部分系和专业的要求，用较少的学时讲授原来开设的复变函 数和数学物理方程这两门课.近年来，随着学校体制等各方面的改 革，新设置了很多的系和专业，开设这门课的系和专业越来越多， 为适应这种情况，才决定把原讲义修改出书. 这次成书，根据诸位同仁的意见，并参照我历年来的讲稿，对 原讲义作了很大的修改，删去了一些不必要的内容，并增加了保形 变换一章，对许多问题自以为处理得比较简洁.根据多年的教学经 验，全书内容除极少量带星号的外（打星号的内容全书不超过4学 时)，可以在一学期（每周4学时）内讲完.书中有些小节的例题较 多，是供学生自学之用的，不一定讲授.书末附有全部习题的答案， 供使用本书的教师和学生参考， 根据多年经验，各章的学时分配可大致如下表 复变函数第1章第2章第3章第4章第5章第6章第7章 学 时 3677°564 数学物理方程第1章第2章第3章第4章第5章 学时77839 这个学时分配表仅供教学参考（如果学时紧张，可不讲复变函 数部分第6章).笔者教这门课近十届，虽积累了许多教学经验，但 不敢说这本教材能尽如人意.复变函数和数学物理方程的内容都 极为丰富，且后者（尤其是其中的特殊函数）内容很庞杂，在学时少 的情况下，内容越庞杂的教材是越难写好的. 最后还是老话一句，书中这样那样的不妥之处在所难免，不过
前!!言 本书是在中国科学技术大学一些!偏工"的系及专业使用的数 学物理方法讲义的基础上编写的!原讲义写于$%,'年#$,年间重 印了.次#每次重印都作了一些修改!开设这门课的目的#是为了 适应部分系和专业的要求#用较少的学时讲授原来开设的复变函 数和数学物理方程这两门课!近年来#随着学校体制等各方面的改 革#新设置了很多的系和专业#开设这门课的系和专业越来越多# 为适应这种情况#才决定把原讲义修改出书! 这次成书#根据诸位同仁的意见#并参照我历年来的讲稿#对 原讲义作了很大的修改#删去了一些不必要的内容#并增加了保形 变换一章#对许多问题自以为处理得比较简洁!根据多年的教学经 验#全书内容除极少量带星号的外$打星号的内容全书不超过0学 时%#可以在一学期$每周0学时%内讲完!书中有些小节的例题较 多#是供学生自学之用的#不一定讲授!书末附有全部习题的答案# 供使用本书的教师和学生参考! 根据多年经验#各章的学时分配可大致如下表& 复 变 函 数 第$章 第&章 第.章 第0章 第#章 第3章 第"章 学!!时 . 3 " " # 3 0 数学物理方程 第$章 第&章 第.章 第0章 第#章 学!!时 " " , . % !!这个学时分配表仅供教学参考$如果学时紧张#可不讲复变函 数部分第3章%!笔者教这门课近十届#虽积累了许多教学经验#但 不敢说这本教材能尽如人意!复变函数和数学物理方程的内容都 极为丰富#且后者$尤其是其中的特殊函数%内容很庞杂#在学时少 的情况下#内容越庞杂的教材是越难写好的! 最后还是老话一句#书中这样那样的不妥之处在所难免#不过 !
笔者在中国科学技术大学39年的教学生涯已打句号，只好留待诸 君去修正了 本书承教研室多年的同事季孝达和陆英老师协助校对，他们 两位也多次教过这门课，在这里向他们表示感谢. 严镇军 1998年2月 于中国科学技术大学
笔者在中国科学技术大学.%年的教学生涯已打句号#只好留待诸 君去修正了! 本书承教研室多年的同事季孝达和陆英老师协助校对#他们 两位也多次教过这门课#在这里向他们表示感谢! 严镇军! !! $%%,年&月!!!! 于中国科学技术大学!!
目 次 前言 .(I) 复变函数 第1章复数和平面点集.(3) 1.1复数. 1.1.1复数集.(3) 1.1.2共轭复数.(4) 1.1.3关于复数模的不等式.(6) 1.1.4复数的几何表示.（8) 1.1.5复数的乘方和开方.(13) 1.2复数序列的极限、无穷远点.(14) 1.3平面点集.(16) 1.3.1基本概念.(16) 1.3.2区城与曲线.(17) 习题.(18) 第2章复变数函数 .(23) 2.1复变数函数.(23) 2.2函数的极限和连续性.(26) 2.3导数和解析函数的概念.(28) 2.4柯西-黎曼方程.(30) 2.5初等函数.(33) 2.5.1指数函数 . (33) 2.5.2三角函数和双曲函数 (34) 2.5.3对数函数. .(37) 0
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2.5.4一般暴函数.（39) 2.5.5反三角函数.（41) 习题.(42) 第3章解析函数的积分表示.(46) 3.1复变函数的积分.(46） 3.1.1定义和计算方法.（46) 3.1.2长大不等式.（50) 3.2柯西积分定理.（51) 3.3柯西积分公式 .(54) 3.4原函数. .(59) 3.5解析函数与调和函数的关系 .(61） 3.6平面场.（65) 习题. (70) 第4章解析函数的级数表示.（74) 4.1幂级数.（74) 4.1.1复数项级数.(74) 4.1.2幂级数及其收敛圆.(75) 4.2解析函数的泰勒展开.（78) 4.3解析函数的洛朗展开.(83) 4.3.1洛朗级数和洛朗定理 .(83) 4.3.2解析函数在孤立奇点的洛朗展开 .(87) 4.4孤立奇点的分类.（91) 44.1函数在有限孤立奇点附近的性状.（91) 4.4.2函数在无穷远点附近的性状.(96) 习题.（98） 第5章留数及其应用.(103) 5.1留数定理.(103) 5.2定积分的计算 .(107) 52.1I=广R(sin0,eos0》d出型的积分 .(107) 永
!!$#(#% 一般幂函数 !!!!!!!!!!!!!! !!+" !!$#(#( 反三角函数 !!!!!!!!!!!!!! !%"" 习题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !%$" 第#章 解析函数的积分表示 !!!!!!!!!!!! !%&" !#" 复变函数的积分 !!!!!!!!!!!!!! !%&" !!!#"#" 定义和计算方法 !!!!!!!!!!!! !%&" !!!#"#$ 长大不等式 !!!!!!!!!!!!!! !(*" !#$ 柯西积分定理 !!!!!!!!!!!!!!! !("" !#! 柯西积分公式 !!!!!!!!!!!!!!! !(%" !#% 原函数 !!!!!!!!!!!!!!!!!! !(+" !#( 解析函数与调和函数的关系 !!!!!!!!! !&"" !#& 平面场 !!!!!!!!!!!!!!!!!! !&(" 习题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !)*" 第$章 解析函数的级数表示 !!!!!!!!!!!! !)%" %#" 幂级数 !!!!!!!!!!!!!!!!!! !)%" !!%#"#" 复数项级数 !!!!!!!!!!!!!! !)%" !!%#"#$ 幂级数及其收敛圆 !!!!!!!!!!! !)(" %#$ 解析函数的泰勒展开 !!!!!!!!!!!! !)'" %#! 解析函数的洛朗展开 !!!!!!!!!!!! !'!" !!%#!#" 洛朗级数和洛朗定理 !!!!!!!!!! !'!" !!%#!#$ 解析函数在孤立奇点的洛朗展开 !!!!! !')" %#% 孤立奇点的分类 !!!!!!!!!!!!!! !+"" !!%#%#" 函数在有限孤立奇点附近的性状 !!!!! !+"" !!%#%#$ 函数在无穷远点附近的性状 !!!!!!! !+&" 习题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !+'" 第%章 留数及其应用 !!!!!!!!!!!!!!! !"*!" ("" 留数定理 !!!!!!!!!!!!!!!!! !"*!" ("$ 定积分的计算 !!!!!!!!!!!!!!! !"*)" !!("$"" #$ " $# * %!,-.!"/0,!#1!型的积分 !!!!! !"*)" $