第三章 幂级数展开 §3.1复数项级数（数值级数) 定义复数级数山+4+山2+.+un+.= n=0 令un的实部和虚部分别为on与Bn,则 u-+24 个复数级数∑4n完全等价于两个实级数∑an和∑pn, 级数的收敛与发散 如果级数部分和Sn=u+4+山2+.+un 如果imSn存在，即imSn=S,则称复数项级数收敛，S 称为级数的和{Sn}的极限： 如果mS不存在或趋于无穷，则复数项级数发散
11 第三章 幂级数展开 §3.1 复数项级数（数值级数） 令un的实部和虚部分别为n与n，则 一个复数级数 un 完全等价于两个实级数 n 和 n ， 级数的收敛与发散 定义 复数级数 0 1 2 0 n n n u u u u u = + + + + + = 0 0 0 n n n n n n u i = = = = + n n 0 1 2 如果级数部分和 S u u u u = + + + + 称为级数的和 的极限； lim n n S S → lim n = n S → Sn 如果 存在，即 ，则称复数项级数收敛，S lim n n S 如果 → 不存在或趋于无穷，则复数项级数发散
-δ定义对于任意给定的ε>0，存在N =N(e),使得当n≥N时，有lSnS<8, 则复数项级数收敛 几何意义：当n≥N时所有都落在在以S为 S V+2 圆心以e为半径的圆内.也就是说当n≥N +1 时所有的Sm都聚集在S点的邻域内. 绝对收敛 若24收敛，则称级数24，为绝对收敛级数。 绝对收敛的级数一定是收敛的，反之，一个收敛的级数不一 定是绝对收敛的。 |un+1+n+2+.+un+plun+1+|un+2|+.+|un+p 级数收敛的判断法 必要条件：若∑4。收敛.则4。=0；若四≠0，则 24.发散
22 -定义 对于任意给定的 > 0，存在N = N( )，使得当n N时，有|Sn –S|< ， 则复数项级数收敛. S SN SN+1 几何意义：当 SN +2 n N时所有都落在在以S为 圆心以为半径的圆内. 也就是说当n N 时所有的Sn都聚集在S点的邻域内. 绝对收敛 若 收敛，则称级数 为绝对收敛级数. 0 k k u = 0 | | k k u = 绝对收敛的级数一定是收敛的，反之，一个收敛的级数不一 定是绝对收敛的。 1 2 1 2 | | | | | | | | n n n p n n n p u u u u u u + + + + + + + + + + + + 级数收敛的判断法 必要条件：若 收敛. 则 ；若 ，则 0 k k u = lim 0 n n u → = lim 0 n n u → 发散. 0 k k u =
证明： 若级数∑4收敛，有 k-0 limS=S,lim S-1=S,◆ lim(S,-S-1)=0. 100 l→a0 即：imwn=0 1-yc0 充要条件（科希收敛判据）： 对任给e>0,存在N=Nel,使得当n≥N时，有1岂：Ke (p为任意正整数)，则级数收敛. 总结： 1、若∑“收敛，可得到m,=0;反推不成立. 2、若2，绝对收敛，可得到24，：反推不成立。 3
33 证明：若级数 收敛，有 0 k k u = 1 lim , lim , n n n n S S S S − → → = = 1 lim( ) 0. n n n S S − → − = 即： lim 0 n n u → = 充要条件（科希收敛判据）： 对任给 >0，存在N = N()，使得当n N时，有 1 | | n p k k n a + = + （p为任意正整数），则级数收敛. 总结： 2、 若 绝对收敛，可得到 ；反推不成立. 0 k k u = 0 k k u = 1、 若 收敛，可得到 lim 0 n ；反推不成立. n u → = 0 k k u =
§3.2 复变项级数（函数级数） 复变项级数 4.(a=4a)+u(a)++,(a+”geG. k 若z点为G内任意一点，则 2么名=，+4G+.+G+p 这时复变项级数退化为复数项级数，可以利用上面方法 来讨论它的收敛性.其部分和为： S()∑4x(亿)=4（亿）+4（亿）+.+4() k0 若imS()=S(z),S(zo)为唯一确定的极限值，则称级数在 z=0收敛。 e-δ说法对于任意给定的ε>0，存在N=N(8,zo),使得当 n≥WN时，有Sn(zo)-Szol<8,则级数收敛. 将上面的zo换成z,则称复变项级数∑4，(a)在z收敛， k=0
44 §3.2 复变项级数（函数级数） 复变项级数 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ). k n k u z u z u z u z z G = = + + + + 若z0点为G内任意一点，则 0 0 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , k n k u z u z u z u z = = + + + + 这时复变项级数退化为复数项级数，可以利用上面方法 来讨论它的收敛性. 其部分和为： 0 0 0 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n k n k S z u z u z u z u z = = + + + 若 ，S(z0 )为唯一确定的极限值，则称级数在 z = z0收敛。 0 0 lim ( ) ( ) n n S z S z → = -说法 对于任意给定的 > 0，存在N = N(, z0 )，使得当 n N时，有|Sn (z0 ) –S(z0 )| < ，则级数收敛. 将上面的z0换成z，则称复变项级数 在z收敛. 0 ( ) k k u z =
致收敛级数 对于任意给定的ε>0，存在N=N(ε)，N 与z无关，使得当n≥N时，有lS(a)-S(z<,则复变项级 数在G内收敛. 一致收敛级数的判别法： 设∑4：为收敛的正项实级数，若4.()Ka。则级数 在G内一致收敛 证明：由于正项实级数∑收敛，对于任意给定的ε>0，存 在N=Ne),使得当n≥N时，有Sn-S<8,即： 0m+1+0n+2+.<E 对于级数立： k=0 .(a-24,a=ue+4a++u,②， S2)白24.@)=u@+W@++0,②+
55 一致收敛级数 对于任意给定的 > 0，存在N = N( )，N 与z无关，使得当n N时，有|Sn (z) –S(z)| < ，则复变项级 数在G内收敛. 一致收敛级数的判别法： 设 为收敛的正项实级数，若 ，则级数 0 k k a = 在G内一致收敛. 0 k k u = | ( ) | u z a n n 证明：由于正项实级数 收敛，对于任意给定的 > 0，存 在N = N( )，使得当n N时，有|Sn–S| < ，即： n n 1 2 a a + + + + 0 k k a = 对于级数 0 k k u = 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), n n k n k S z u z u z u z u z = = = + + + 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , n k n k S z u z u z u z u z = = = + + + +