第五章声子川.热性质 声子：决定材料的热学性质，通过散射电子，影响导体的电输运性质 声子产生：在晶体中，声子是如何产生或激发的？ ·外部干扰-振动或声波传导 ·粒子散射-能量转换成晶格振动 ·热(KT)-在任意有限的温度下(T≠0K激发 热声子 考虑一个处于能级E的系统 占据几率 P(E)exp 在温度T En-3 Boltzmann因子
1 第五章 声子 II. 热性质 声子 :决定材料的热学性质,通过散射电子,影响导体的电输运性质 声子产生 :在晶体中,声子是如何产生或 激发的? • 外部干扰 – 振动或声波传导 • 粒子散射 – 能 量转换成晶格振动 • 热 (KBT) –在任意有限的温度下 (T≠0K) 激发 占据几率 在温度 T “Boltzmann因子” En En-3 En-1 热声子 : 考虑一个处于能级En的系统 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛−∝ TkE exp)P(E Bn n
模式Ko 激发能级幅度（门）与能量 n+ 2 平均声子数 ∑sPE,) ∑sep ∑PE,) ∑e Es kBT ∑ (s+1/2)n0 s exp kBT (s+1/2)no kBT dx 其中x= no exp (-sx kBT <n(o,T)>的Planck分布 1 n(o,T)）= 每个处于⊙模，平均激发声子 o exp kgT
2 激发能级幅度 ( n ) 与 能 量 ,k ω ρ 模式 ( ) ( ) ( ) ( ) Tk ω x sxexp sxexp dx d Tk 1/2)(s ω exp Tk 1/2)(s ω exp s Tk E exp Tk E exp s EP EP s n B s s s B s B s B s s B s s s s s η η η = − − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 其中 平均声子 数 < n( ω, T) > 的Planck分布 每个 处于 ω 模,平均激发声子 1 Tk ω exp 1 ω T), n( B −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = η ω 2 1 n ⎟η ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +
4.0 3.5 3.0 高T(kT>o) kaT A 2.5 ≤n(o,T)> 2.0 no 1.5 1.0 低T(k:T<no) 0.5 0.0 n(a,T)>~exp no 0.0 0.51.01.52.02.53.03.54.0 x"=KgT/no 热能 Uy-芝nm 模的密度 =do D(o)(n(o)no =「doD(o) rw 热平衡 ro exp
3 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 < n(ω, T) > x -1 = k BT / ηω 高 T ( k BT >> ηω ) < n( ω, T) > ~ 低 T ( k BT < ηω ) < n( ω, T) > ~ 1 Tk ω exp ω ω d ω ) D( ω d ω ) D( ω ) n( ω nU ω B i mode i i −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = = ∫ ∫ ∑ η η η 热 能 η 热 平衡 模的密度 η ω Tk B ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − η ω Tk exp B
态（模）密度：在k-空间中均匀分布 1DD(k三态密度=在k点处单位k的态数目 Dk)dk从k到k+dk的态数目 线型原子链长度为L携带N+1个粒子，粒子间距为a. 边界条件：u)=0和uN()=0 固定点 S=0 S=N us(t)=u exp[-iok.t]sin(ska) 其中k= 元2π3元4πN-1)元 LLLL.1 SN za 为什么没有Nπ/L的k许可值t?us(①csin =sin(sπ)=0 所有的都没有运动. 每间隔 Ak- 。有一个模 fork≤ 单位k区间的模数目 D(k)= a for k>
4 态 (模)密度: 在k-空间中均匀分布 1D D(k)≣态密度 =在k点处单位 k 的态数目 D(k)dk从k 到 k+dk 的态数目 线型原子链长度为 L 携带 N+1 个粒子,粒子间距为 a. 边界条件 : u0(t)=0 和 uN(t)=0 固定点 L π Δk = ⎪⎩ ⎪⎨⎧ > ≤ = a π kfor 0 a π kfor π L D(k) s=0 s=N us(t)=u exp[-iωk,pt] sin(ska) 其中 k= L-(N 1)π . , L4π , L3π , L2π , Lπ 为什么没有 Nπ/L的k许可值? us(t) ∝ =0 所有的都没有运动. 每间隔 单位 k区间的模数目 ( ) π π ssin L asN sin ⎟ =⎠⎞ ⎜⎝⎛ 有一个模
把介质看作无边界的，但要求所得到的解在长距离L上具有周期性.即周期 性边界条件 u(sa)=u(sa+L) 对于一个大的体系而言 us(t)=u exp[i(ska-kpt)] 每间隔 Ak= 2π 有1个模 L 单位k区间的模数目 D(k)= 对于-≤k≤ 2元 a a D(k)dk = dk且有±k2个 =0 其他 2元 D(@)do=2D(k)dk 2D(k)- do 单位频率区间的模数 D(0)=2Dk) dk 2D(k)2D(k) do do/dk 色散关系 奇点在V。=0,由⊙k)决定
5 把介质看作无边界的,但要求所得到的解在长距离L上具有周期性.即周期 性边界条件 u(sa)=u(sa+L) 对于一个大的体系而言 us(t)=u exp[ i(ska-ωk,pt) ] 其中 k= . , L6π , L4π , L2π ,0 ±±± L 2π 每间隔 Δk = 有1个模 其他 对于 0 a π k a π 2π L D(k) = 单位k区间的模数目 = ≤≤− dω dω dk ω D( ω D(k)2D(k)dk2)d 2k dk 2π L D(k)dk = = = 且有 ± 个 vg 2D(k) ω /dkd 2D(k) dω dk D( ω = D(k)2) == 单位频率区间的模数 奇点在 vg=0, 由 ω(k)决定 色散关系