第四章声子！晶格振动 格子是非刚性的.原子可以在平衡点附件运动. 基元原子 振动 当波在固鄰传播时，存在个纵向和两个横向极化（偏 +2 +4 a S+2 S+3 S+4 s-3 S- s-1 S+1S+2
黄春晖 编 第四章 声子 I 晶格 振动 格子是非刚性的. 原子可以在平衡点附件运动. r r r u(t) u ,u ,u j 1 2 3 = + + 振动 格子 点 基元原子 当波在固体中传播时,存在一个纵向 振) . 和 两个横向极化(偏 s-3 s-2 s-1 s s+1 s+2 a s-1 s s+1 s+2 s+3 s+4 a us-2 us-1 us+2 us us+1 us-1 us+1 us+2 us+3 us+4 k k
1D晶格振动 M Us-2 Us-1 F Us Fp us+1 F=FR +FL=C(us+I-u)+C(us-1-u,) dg=Cu4+u,-2u,） dt2 组藕合，线性的，二阶微分方程 ©通常情况下如果M和C不同，很难求解， ©方法：试探解（很好猜测） u,()=Aexp[kx。-ot】 这里X=sa 黄春晖编
黄春晖 编 1D 晶格振动 MMM M us-2 us-1 us us+1 C C C C C FL FR C(u u 2u ) dt d u M F F F C(u u ) C(u u ) 2 s 1 s 1 s s 2 s R L s 1 s s 1 s = + − = + = − + − + − + − ☻ 一组藕合,线性的,二阶微分方程. ☻ 通常情况下如果 M 和 C不同,很难求解. ☻ 方法 : 试探解 (很好猜测) 这里 x u (t) Aexp[ (kx t)] s=sa s = i s −ω
M(-2)Aeiksei=C(Aeik(s+Aeik(s-D-2Aksa le-iot -Mo2=Clea +e-ika-2) =C2(cos(ka)-1) 02= -co:(kw-)-2sn) M 4C ka 0三 sin M 2 色散关系 1.0 08 当k= 4C a :最大 0.4 M 0.2 处在第一 BZ边界 0.0 -1.5 -1.0 050.00.5 1.01.5 k[(2π/a)m]
黄春晖 编 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ka sin M 4C ω ) 2ka 2sin ( M2C 1 cos(ka) M2C ω C 2 cos(ka) 1 Mω C 2 M( ω )A C A A 2A 2 2 2 ika ika 2 iksa iω t ik(s 1)a ik(s 1)a iksa iω t = = − = = − − = + − − = + − − − + − − e e e e e e e e 色散关系 当 k = ω = : 最大 处在第一 BZ边界 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ω [(4C/M)1/2 sec -1 ] k [(2π /a) m-1] a π± M 4C
对于小的k(ka<<1) 长波极限 4C ka Ca Ca M 2 M M/a vk 连续弹性波极限 色散：O≠Vk 相 速度Vp 波速度是什么？ 速度 相速度 k do 群速度 三 g dk Vi (k) 在介质中能量传播速度
黄春晖 编 对于小的 k (ka<<1) 长波极限 vk k Ca k M/a Ca a k M C 2 ka M 4C ω = = = ≈ = λ 连续弹性波极限 色散 : ω ≠ vk 波速度是什么? 相 速度 vp 群 速度 vg { a k ω v 相速度 p = ω (k) d k d ω vg ≡ = ∇k 在介质中能量传播速度 群速度
时间增加 群速度 do g dk .=V@(k) 相速度 时间增加 黄春晖编
黄春晖 编 (a) (b) (c) (d) (d) (e) (f) (g) 时 间 增 加 群速度 ω (k) d k d ω v g ≡ = ∇ k 相速度 k ω v 时 p = 间 增 加