福州大学：《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第十二章 柱函数

第十二章柱函数 12.1柱坐标下拉氏方程的解 研究圆柱形区域内的拉氏方程时，选取柱坐标，拉氏方程为： 18 ou,1 o'n ou pop Pop)png =0 令： u(p,z)=R(p)()Z(z) ΦZa,那\+R2Φ+RΦZ=0 p ap ap) +0 ROp ap Φ OR ROp ap

1 研究圆柱形区域内的拉氏方程时，选取柱坐标，拉氏方程为： 第十二章 柱函数 §12.1 柱坐标下拉氏方程的解 2 2 2 2 2 1 1 0 u u u z             + + =         令：u z R Z z (    , , ) =  ( ) ( ) ( ) " " 2 0 Z R RZ  R Z          +  +  =       " " 2 0 R Z R Z           + + =        " " R Z2 R Z           + = −        = 

ap =0, Φ”+Φ=0， Φ”+2Φ=0， 自然周期条件 Φ(p+2π)=Φ(p) 本征值：2=m (m=0,1,2,.: 本征函数：Φ=C1 cos mp+c,sinmo. 1∂ OR Z” m2 =0 pROp ap 1 a OR pRop ∂ OR 0 ap 2

2 " 2 0, R Z R Z           + − =       "  +  =  0, ( ) ( ) " 0, 2      +  =   + =  自然周期条件 本征值： ( ) 2  = = m m 0,1,2, . 本征函数： 1 2  = + c m c m cos sin .   " 2 2 1 0, R Z m R Z          + − =       = − 2 " 2 1 R m Z R Z          − = −       2 2 1 0, R m R               + − =        

a OR 0 ap ap) +(2-m）R=0 Z”-uZ=0. 讨论： ①4=0 Z”=0, Z=C33+C4 当m=0时， a(,R=0, R=csInp+c6- 当m≠0时，pR+p那 -m2R=0, 一欧勒齐次方程 8p" R=Cpm+Csp ②4>0z-(Nmz=0, 2R+p+(p2-m)R=0, op+pap 3

3 ( ) 2 2 0; R    m R       + − =       " Z Z − =  0. 讨论： ①  = 0 " Z = 0, Z c z c = + 3 4 当m = 0时， 0, R        =       5 6 R c c = + ln .  当m  0时， 2 2 2 2 0, R R   m R     + − =   —— 欧勒齐次方程 7 8 . m m R c c   − = + ②   0 ( ) 2 " Z Z − =  0, 9 10 . z z Z c e c e   − = + ( ) 2 2 2 2 2 0, R R    m R     + + − =  

令：x=√p →x202R OR +x +(x2-m）R=0, Ox .(p) m阶贝塞耳方程 m阶诺尔曼函数 N.(Vp R-J(VEip) 柱内 ③u<0令：4=-R,Z”+Z=0,Z=Cu coshz+c2sinz. p8盼*r6ep+m)-心 m阶虚贝塞耳方程 令：x=p一r+x那-(K+mR=0, Qr2+x m阶虚贝塞耳函数 R K(hp) m阶虚诺尔曼函数 4

4 令：x =   ( ) 2 2 2 2 2 0, R R x x x m R x x   + + − =   ( ) m阶贝塞耳方程 ( ) ~ m m J R N               m阶诺尔曼函数 R J ~ m (   ) 柱内 ③   0 2 令： = −h , 11 12 Z c hz c hz = + cos sin . " 2 Z h Z + = 0, ( ) 2 2 2 2 2 2 0, R R    h m R     + − + =   令：x h =  ( ) 2 2 2 2 2 0, R R x x x m R x x   + − + =   m阶虚贝塞耳方程 ( ) ( ) ~ m m I h R K h             m阶虚诺尔曼函数 m阶虚贝塞耳函数

R~Im(hp) 柱内 若所给的边界条件中柱侧是齐次边条件，则取μ>0，若柱侧 是第二类边条件，还需要讨论4=0情况；若所给的边界条件 中上下底均是齐次边条件，则取μ<0，若上下底均为第二类 齐次边条件，还需要讨论u=0情况. 512.2贝塞耳函数 x2R"+xR'+(x2-v2)R=0 一v阶贝塞耳方程 =V(v>0),有一解： x 5

5 R I h ~ m (  ) 柱内 若所给的边界条件中柱侧是齐次边条件，则取 > 0，若柱侧 是第二类边条件，还需要讨论 = 0情况；若所给的边界条件 中上下底均是齐次边条件，则取 < 0，若上下底均为第二类 齐次边条件，还需要讨论= 0情况. §12.2 贝塞耳函数 ( ) 2 " ' 2 2 x R xR x R + + − =  0 ——  阶贝塞耳方程 ( ) 1 s =    0 , 有一解: ( ) ( ) ( ) 2 0 ~ ! 1 2 k k k x R J x k k    +  = −   =    + +    若为非整数， ( ) ( ) ~ , J x R J x  −           ( ) ( ) ( ) 2 0 ! 1 2 k k k x J x k k    −  − = −   =    − +   