例5判别级数 分+的城斜性 =3 解由例1知级数 敛 n=0 所以由性质可得级数宁·女收效 例6判别级数∑”+！-2+3 二n+2；+4+的收邀性 解因为所给级数通项为：”，= n+l n+1 lim u lim =1≠0 n→o0 n-→∞n+2 所以，由性质4可知原级数发散， 前页后页结束
前页 后页 结束 例5 判别级数 的收敛性. = = + + + + 3 3 4 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n 解 由例1知级数 收敛. =0 2 1 n n 所以,由性质3可得:级数 收敛. = = + + + + 3 3 4 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n 例6 判别级数 的收敛性. = + + + = + + + + + 1 2 1 4 3 3 2 2 1 n n n n n 解 因为所给级数通项为: ,而 2 1 + + = n n un 1 0 2 1 lim lim = + + = → → n n u n n n 所以,由性质4可知原级数发散
10.2正顶级数及其敛散性 10.2.1正项级数及其审敛法 正项级数：如果级数之中的每一项均满足 4n≥0(n=1,2,3,),则称该级数为正项级数. 定理1正项级数 三收敛的充分必要条件 =1 是：它的部分和数列{S有界。 定理2（比较审敛法）设有两个正项级数 和 (1)如果已知级数收敛且有4，≤”n( 则级2，.) 数 池收敛. =1 前页后页结束
前页 后页 结束 10.2.1 正项级数及其审敛法 正项级数: 如果级数 中的每一项均满足 0( 1,2,3, ), u n n ≥ = 则称该级数为正项级数. 1 n n u = 定理1 正项级数 收敛的充分必要条件 是：它的部分和数列 有界. 1 n n u = { }n s 10.2 正项级数及其敛散性 定理2 (比较审敛法)设有两个正项级数 和 , 1 n n u = 1 n n v = (1)如果已知级数 收敛且有 ,则级 数 也收敛. ( 1,2, ) u v n n n = 1 n n v = 1 n n u =
00 (2)如果已知级数∑发散且有wn≥y,(,则，2，) n=I 级数Σ也发散， n= 例1判别级数 ∑s的收敛性 n- 解因为 ”=s子>u=1.2 所以三sn号为正项级数 22n=1,2,） 又因为sin交≤Z 而三为公比的绝对值小于1的几何级数，所以收敛。 n=l 4 因此由比较审敛法可知级数三sn收敛 前页后页结束
前页 后页 结束 (2)如果已知级数 发散且有 ,则 级数 也发散. n=1 n v 1 n n u = ( 1,2, ) u v n n n ≥ = 例1 判别级数 的收敛性. =1 2 sin n n 解 因为 sin 0( 1,2, ) 2 n n u n = = 所以 为正项级数 1 sin 2 n n = 又因为 sin ( 1,2, ) 2 2 n n n ≤ = 而 为公比的绝对值小于1的几何级数，所以收敛. 1 2 n n = 因此由比较审敛法可知级数 收敛 1 sin 2 n n =
例2讨论p-级数∑的敗敛性，其中常数p>0. 解当p≤时有1≥1 而级数 ∑为调和级数，是发散的 所以由比较审敛法知级数 ∑发散 (2)当p>时，级数 AP 的各项均不大于级数 前页 后页结束
前页 后页 结束 例2 讨论p -级数 的收敛性,其中常数 p>0. =1 1 n p n n n p p 1 1 解：(1)当 1时有 1 1 1 1 所以由比较审敛法知级数 发散 而级数 为调和级数，是发散的 = = n p n n n 的各项均不大于级数 当 时，级数 + + + + ++ + = + + + = ) 15 1 8 1 ) ( 7 1 6 1 5 1 4 1 ( ) 3 1 2 1 1 ( 1 (2) 1 1 p p p p p p p p n p n p
+4+ 8)+的对应项 而后一级数是几何级数，其公比g=2<1(p>) 所以这个级数是收敛的. 因此由比较审敛法知级数 是收敛的. n=1 综合以上可得：p级数 当p<时 n=Ih 是发散的而当p>1时是收敛的. 前页后页结束
前页 后页 结束 ) . 8 1 8 1 ( ) 4 1 4 1 4 1 4 1 ) ( 2 1 2 1 1 ( + + + +的对应项 + + + + + + p p p p p p p p 1( 1) 2 1 1 = − q p p 综合以上可得:p-级数 当 时 是发散的;而当p>1时是收敛的. p 1 =1 1 n p n 而后一级数是几何级数,其公比 所以这个级数是收敛的. 因此由比较审敛法知级数 是收敛的. =1 1 n p n