0 例2判别级数 的收敛性 n=i n(n+1) 解因为 2 =2(- n(n+1) 'nn+l n=2L, .1 所以 12 2.3(n-1)n(n+1)n -0*写3*合21w 于是m.-m20-n+2 n->o >oc 故原级数收敛，且其和S二2 前页 后页结束
前页 后页 结束 =1 ( +1) 2 n n n 1 lim lim 2(1 ) 2 1 n n n s → → n = − = + 例2 判别级数 的收敛性 ) 1 1 1 2( ( 1) 2 + = − + = n n n n 解 因为 un 所以 1 1 1 1 2[ ] 1 2 2 3 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 2[(1 ) ( ) ( )] 2(1 ) 2 2 3 1 1 n s n n n n n n n = + + + + − + = − + − + + − = − + + 于是 故原级数收敛,且其和 s = 2
例3判别级数 ∑n1收敛性， n 解因为 、-之1+=h2+h+h中 =m2✉子x=n+0 于是 lim s,lim In(n+1)=co n>00 故原级数发散 前页后页结束
前页 后页 结束 例3 判别级数 的收敛性. = + 1 ) 1 ln(1 n n 解:因为 = + = + = + + + n t n n n t s 1 1 ln 2 3 ) ln 2 ln 1 ln(1 ) ln( 1) 1 2 3 ln( 2 = + + = n n n 于是 = + = → → lim s lim ln( n 1) n n n 故原级数发散
10.1.2数项级数的性质 性质1若级数三收敛于和5，则它的各项同乘以一 n=1 个常数所得的级数 西憋敛，且其和为若级熟 n=1 发散，且∑4刚 必定发散 ∑kln n=1 n=1 性质2如果级数 和。 分别收敛于和 S O =1 n=l 则∑(4，±，必收敛，其和为s+o. n= 前页 后页结束
前页 后页 结束 10.1.2 数项级数的性质 性质1 若级数 收敛于和s，则它的各项同乘以一 个常数 所得的级数 也收敛,且其和为 ;若级数 发散,且 ,则 必定发散. n=1 un n=1 n k ku ks n=1 un k 0 n=1 n ku 性质2 如果级数 和 分别收敛于 和 1 n n u = 1 n n v = s ( ) . 1 + = u v s n 则 n n 必收敛，其和为
例4判别级数 2的收敛性 解因为 ∑和 都建公比的绝对值小于1的 n= 等比级数，因此都收敛，由性质2知该级数收敛. 性质3增加或去掉级数的有限项，不改变级数的 敛散性.但当级数收敛时，其和一般会改变 性质4（级数收敛的必要条件）若级数 ∑收敛， 则必有1im4n=0. n>0 前页后页结束
前页 后页 结束 例4 判别级数 的收敛性 ) . 3 1 2 1 ( 1 1 1 = − − − n n n 解:因为 和 都是公比的绝对值小于1的 = − 1 1 2 1 n n = − 1 1 3 1 n n 等比级数，因此都收敛，由性质2知该级数收敛. 性质3 增加或去掉级数的有限项，不改变级数的 敛散性.但当级数收敛时,其和一般会改变. 性质4 (级数收敛的必要条件)若级数 收敛， n=1 n u lim = 0 → n n 则必有 u
由性质4我们可以得到如下结论： ()若∑un收敛，则其通项un趋于零； n=l (2)通项un不趋于零，则∑un发散； n=1 (3)通项u,趋于零，∑u,不一定收敛 n=l 所以，通项山，趋于零是∑4，收敛的必要条件 前页后页结束
前页 后页 结束 由性质4我们可以得到如下结论： 若 收敛，则其通项 n趋于零； n n u u =1 (1) 通项 不趋于零，则 发散； =1 (2) n un un (3) , . 1 通项 趋于零 不一定收敛 n= un un . 1 所以，通项 趋于零是 收敛的必要条件 n= n n u u