导数定义与下面的形式等价： f(xo)=lim f(x)-f(x) x→x0 x-xo 若=f(x)在x=x,的导数存在，则称=fx)在点x0 处可导，反之称y=fx)在x=xo不可导，此时意 味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念 都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映 了函数在一点处变化增大或减小的快慢 前页 后页结束
前页 后页 结束 导数定义与下面的形式等价： . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = → 若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)在x = x0 不可导，此时意 味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念 都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映 了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢
三、左导数与右导数 左导数：f'(x,)=lim f(x,+△x)-f(x) Ar->0 △x 右导数：f'(x,)=l1im f(x,+△x)-f(x) △x->0 △x 显然可以用下面的形式来定义左、右导数 f(xo)=lim f(x)-f(x) x→x0 ff,)=m x-Xo x→xd x-Xo 定理3.1y=f)在x=x可导的充分必要条件是 y=fc)在x一x,的左、右导数存在且相等 前页后页结束
前页 后页 结束 三、左导数与右导数 左导数: . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x f x x f x f x x + − = → − − 右导数: . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x f x x f x f x x + − = → + + 显然可以用下面的形式来定义左、右导数 , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = − → − . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = + → + 定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等
三、导数的几何意义 当自变量x,从变化到x。+△x时，曲线fx) 上的点由M,(xO,f(x).变到M(xo+△x,f(x+△x》 此时Ax为割线两端点M,M 的横坐标之差，而△y 则为M,M的纵坐标之差， 所以 即为过Mo,M两点的 割线的斜率， xo xo+△x 前页后页结束
前页 后页 结束 三、导数的几何意义 当自变量 从变化到 时，曲线y=f(x) 上的点由 变到 ( , ( )). 0 0 M x + x f x + x 此时 为割线两端点M0，M 的横坐标之差，而 则为M0，M 的纵坐标之差， 所以 即为过M0，M两点的 割线的斜率. x0 ( , ( )). 0 0 x0 M x f x y x y x0 + x M0 M 0 x x0 + x
曲线y=f(x)在点M处的切线即为割线MM当M沿曲 线fc)无限接近M,时的极限位置MP,因而当Dx-→0 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即： f(x)=lim △x-→0△X limtang=tan=k Ay 所以，导数f"(x,)的几何意义 是曲线y=f(c)在点M(coo》 处的切线斜率 10 xo+△x 前页后页结束
前页 后页 结束 曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲 线y=f(x)无限接近 时的极限位置M0P，因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即： D x→0 0 0 ( ) lim limtan tan x y f x k x → → = = = = 所以，导数 的几何意义 是曲线y = f (x) 在点M0 (x0 ,f(x0 )) 处的切线斜率. ( ) x0 f M0 M 0 x x0 + x P M0
设函数y=fx)在点处可导，则曲线y=x)在点 处的切线方程为：y-f(x)=f'(x)(x一x而当 时，曲线)=∞在 的切线方程为 x=xo 当f'(x)≠0时，曲线f(x)在M。的法线方程为 y-,)=-, 而当f'(x,)=0时，曲线f(x)在M,的法线方程为 x=x。(即法线平行轴) 前页后页结束
前页 后页 结束 设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点 处的切线方程为： 而当 时,曲线 在 的切线方程为 0 0 0 1 ( ) ( ). ( ) y f x x x f x − = − − 0 x x = (即法线平行y轴). 0 x x = 0 0 0 y f x f x x x − = − ( ) ( )( ). 当 f x ( ) 0 0 时,曲线 f x( ) 在 M0 的法线方程为 而当 f x ( ) 0 0 = 时,曲线 f x( ) 在 M0 的法线方程为 0 f x ( ) = f x( ) M0