第三章动量与角动量 牛顿定律是瞬时的规律。但在有些问题中,如:碰撞(宏观)、 散射(微观)…我们往往只关心过程中力的效果,即只关心始末 态间的关系,对过程的细节不感兴趣;而有些问题我们甚至尚弄 不清楚过程的细节 作为一个过程,我们关心的是力对时间和空间的积累效应。 力在时间平动→冲量,改变动量 上的积累 转动→冲量矩,改变角动量 力在空间上的积累→作功,改变动能 §1冲量,动量, 质点动量定理 定义:力的冲量= Fdt 质点动量p=m 由 F-d(mv)- dp dt dt 有 d=Fdt=d一动量定理(微分形式) 7=Fdt=p2-一动量定理(积分形式) Fd 平均冲力F= △t 达地面后,以同样速率反弹,接触地面时间小的高度下落,到 [例]已知:一篮球质量m=0.58kg,从h=2 0.019s。 求:篮球对地面的平均冲力F球对地 解:篮球到达地面的速率为: V=√2gh=√2×980×2=626ms, 篮球接触地面前后动量改变(大小)为: Ap=2mv 由动量定理有 F地对球·△t=4p=2mN 由牛顿第三定律有 风 F风对帆 横 F帆对风
第三章 动量与角动量 牛顿定律是瞬时的规律。但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、 散射（微观）…我们往往只关心过程中力的效果，即只关心始末 态间的关系，对过程的细节不感兴趣；而有些问题我们甚至尚弄 不清楚过程的细节。 作为一个过程，我们关心的是力对时间和空间的积累效应。 转动 角动量 平动 动量 冲量矩，改变 冲量，改变 力在空间上的积累 作功，改变动能 §1 冲量，动量， 质点动量定理 定义：力的冲量 = 2 1 d t t I F t 质点动量 v p = m 由 t p t m F d d d d( v) = = 有 I F t p d = d = d ─ 动量定理(微分形式) d 2 1 2 1 I F t p p t t = = − ─ 动量定理（积分形式） 平均冲力 t p t t F t F t t = − = 2 1 2 1 d [例]已知：一篮球质量m = 0.58kg，从h = 2.0m的高度下落，到 达地面后，以同样速率反弹，接触地面时间 t = 0.019s。 求：篮球对地面的平均冲力 F 球对地 解：篮球到达地面的速率为： v = 2gh = 29.802 = 6.26m/s ， 篮球接触地面前后动量改变（大小）为： p = 2mv 由动量定理有： F 地对球 t = p = 2mv 由牛顿第三定律有： 力在时间 上的积累 帆 1 2 F帆对风 1 2 Δ 风 F 风对帆 F 横 F
球对地=F地对球 2m2×0.58×6.26 0.019 3.82×1032N 逆风行舟的原理如下图所示 §2质点系动量定理 对于质点系,设:F为第 i个质点受的合外力,f为第i Fi方 个质点受第j个质点的内力。 对第i个质点:(F+∑f)dt=dp 对质点系:∑(F+∑f)dt=∑dp 由牛顿第三定律有:∑∑f=0 令∑F=F,∑p=P 则Fdt=d1或E、dP dt 质点系动量定理(微分形式) 积分得 F·dt=P2-P 质点系动量定理(积分形式)
F 球对地 = F 地对球 3.82 10 N 0.019 2 v 2 0.58 6.26 2 = = = t m 逆风行舟的原理如下图所示： §2 质点系动量定理 对于质点系，设： Fi 为第 i 个质点受的合外力， ij f 为第 i 个质点受第 j 个质点的内力。 对第 i 个质点： i j i Fi f ij t p + d = d （ ） 对质点系： + = i i i j i i ij F f t p ( ）d d 由牛顿第三定律有： = i ji ij f 0 令 F F p P i i i i = 外 ， = 则 F t P 外 d = d 或 t P F d d 外 = ──质点系动量定理（微分形式） 积分得 2 1 2 1 F dt P P t t = − 外 ──质点系动量定理（积分形式） fi j · · · · · · · i j Fi Pi fj i ·
质点系动量定理处理问题可避开内力,较方便。 §3动量守恒定律 由质点系动量定理知,在一过程中,若质点系所受合外力为 零,则质点系的总动量不随时间改变。这就是质点系的动量守恒 定律。即 若F外=0,则P=常量 几点说明: 1.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 2.在牛顿力学中,因为力与惯性系的选择无关,故动量若在 某一惯性系中守恒,则在其它任何惯性系中均守恒(这样的结论 并非对所有守恒定律都适用,能否适用要看其守恒条件的成立是 否不依赖于惯性系的选择)。 3.若某个方向上合外力为零,则该方向上的分动量守恒,尽管 总动量可能并不守恒 4在一些实际问题中,当外力<内力,且作用时间极短时(如 两物体的碰撞),往往可以略去外力的冲量,而认为动量守恒。 5.在牛顿力学的理论体系中,动量守恒定律是牛顿定律的推 论。但动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定律,它在 宏观和微观领域、低速和高速范围均适用。 §4质心 质心的概念和质心位置的确定 在研究质点系的运动时,通常引入质量中心(简称质心)的 概念。 如图示,设质心C的位矢为,它的定义式如下: ∑mj m=∑m) F是质点位矢以质量为权重的平 均值
质点系动量定理处理问题可避开内力，较方便。 §3 动量守恒定律 由质点系动量定理知，在一过程中，若质点系所受合外力为 零，则质点系的总动量不随时间改变。这就是质点系的动量守恒 定律。即 若F外 = ，则 P =常量 0 几点说明： 1.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 2.在牛顿力学中，因为力与惯性系的选择无关，故动量若在 某一惯性系中守恒，则在其它任何惯性系中均守恒（这样的结论 并非对所有守恒定律都适用，能否适用要看其守恒条件的成立是 否不依赖于惯性系的选择）。 3.若某个方向上合外力为零，则该方向上的分动量守恒，尽管 总动量可能并不守恒。 4.在一些实际问题中，当外力<<内力，且作用时间极短时（如 两物体的碰撞），往往可以略去外力的冲量，而认为动量守恒。 5. 在牛顿力学的理论体系中，动量守恒定律是牛顿定律的推 论。但动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定律，它在 宏观和微观领域、低速和高速范围均适用。 §4 质心 一. 质心的概念和质心位置的确定 在研究质点系的运动时，通常引入质量中心（简称质心）的 概念。 如图示，设质心 C 的位矢为 c r ，它的定义式如下： m m r iri C = （ m = mi ） C r 是质点位矢以质量为权重的平 均值。 rC z · · · · · · · · C× m i ri y x O
x m, xi, yo ∑my,∑m三 二.几种系统的质心 ·两质点系统 1 n 质心位置满足关系式(自己推导):x d n C ·质量连续体 rdm rc xdm 均匀的杆、圆盘、圆环和球的质心就是其几何中心。 小线度物体(其上各处g相等)质心和重心(重力合力的作 用点)是重合的。 [例]如图示,从半径为R的均质圆盘上挖掉一块半径为r的小圆 盘,两圆盘中心O和0′相距为d,且(d+r)<R。 求:挖掉小圆盘后,该系统的质心坐标。 解:由对称性分析,质心C应在x轴上。把该系统视为在图中 虚线位置挖掉小圆盘O后剩余部 分(质心在O)和在原处小圆盘O"的 组合。令σ为质量的面密度,则质 心坐标为 d·o·m2+0 TR (R/r)-1 §5质心运动定理 质心运动定理 质心运动的速度为
m m x x i i C = ， m m y y i i C = ， m m z z i i C = 二. 几种系统的质心 ·两质点系统 质心位置满足关系式（自己推导）： m1 r1 = m2 r2 ·质量连续体 m r m rC = d m x m xC = d ，… ·均匀的杆、圆盘、圆环和球的质心就是其几何中心。 ·小线度物体（其上各处 g 相等）质心和重心（重力合力的作 用点）是重合的。 [例] 如图示，从半径为 R 的均质圆盘上挖掉一块半径为 r 的小圆 盘，两圆盘中心 O 和 O′相距为 d，且（d + r）< R 。 求：挖掉小圆盘后，该系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心 C 应在 x 轴上。把该系统视为在图中 虚线位置挖掉小圆盘 O 后剩余部 分（质心在 O）和在原处小圆盘 O 的 组合。令 为质量的面密度，则质 心坐标为： 2 2 2 0 R r d r xC − − + = ( / ) 1 2 − = − R r d §5 质心运动定理 一. 质心运动定理 质心运动的速度为： · m1 r1 C× r2 · m2 r × rC dm C O m z x y C d x y O · O′ d xC O″ r R r
d dr ∑m ∑m 由此可得 mv C m v 质点系的总动量 V 由 F-dp d =(mv)=m=, dt dt 有 外=mac一质心运动定理 由质心运动定理知,质心运动可看成是把质量和力都集中在 质心的一个质点的运动。 质心(参考)系 1.质心系 研究质点系运动常用质心系,它是相对于一个惯性系作平动 的参考系,质心在其中静止。简言之,质心系是固结在质心上的 平动参考系。 质心系不一定是惯性系,只有合外力为零时质心系才是惯性 系 质点系的复杂运动通常可分解为 质点系整体随质心的运动; 各质点相对于质心的运动。 前者即讨论质心的运动,后者就是在质心系中考察质点系的 运动。这样处理问题通常比较方便,在讨论天体运动及碰撞等问 题时经常用到。 2.质心系的基本特征 质心系中系统动量 ∑m=C∑m=0 质心系是零动量参考系。 若系统只有两个质点,则它们在其质心系中总是具有相反的 动量,如图示的两粒子碰撞。 miD m220 1D1
m m m t r m t r i i i i C C = = = v d d d d v 由此可得 = i mvC mi vi 质点系的总动量 P m C v = 由 t m m t t P F C C d d v ( v ) d d d d 外 = = = 有 F maC 外 = ─质心运动定理 由质心运动定理知，质心运动可看成是把质量和力都集中在 质心的一个质点的运动。 二. 质心（参考）系 1.质心系 研究质点系运动常用质心系，它是相对于一个惯性系作平动 的参考系，质心在其中静止。简言之，质心系是固结在质心上的 平动参考系。 质心系不一定是惯性系，只有合外力为零时质心系才是惯性 系。 质点系的复杂运动通常可分解为： 质点系整体随质心的运动； 各质点相对于质心的运动 。 前者即讨论质心的运动，后者就是在质心系中考察质点系的 运动。这样处理问题通常比较方便，在讨论天体运动及碰撞等问 题时经常用到。 2.质心系的基本特征 质心系中系统动量： v ( )v 0 = C = mi i mi ， 质心系是零动量参考系。 若系统只有两个质点，则它们在其质心系中总是具有相反的 动量，如图示的两粒子碰撞。 · · · · · · · · C× mi vC vi rC ri z y x O ·· m11 m110 m220 m22