中国科学技术大学：《量子化学 Quantum Chemistry》课程教学资源（讲稿）第五讲 分子的对称性与群论基础——群表示与不可约表示

群表示和不可约表示 1.群表示 1/20-1/2 两组对称操作矩阵有变换关系： P= 01 0 RT2)=P-RTP /201/2 (101 C;T2)=P-C;TP 0 10 1/4 V3/2 3/4 0 1 1 -1/2 √3/201y2 0-1V2 3/4 -1/2 V5/4 0 1 0 √3/2 -1/2 0 0 10 3/4 -3/2 1/4 -10 0 /201/2 一个对称操作（算符）在同一个函数空间(x,y的二次齐次函数)的 作用效果，只是基函数的选取是不同的。可见，等价表示本质上是 “相同”的表示

1. 群表示 6 两组对称操作矩阵有变换关系： C Γ  P C3 Γ1 P 1 3 2                                                        1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2 0 0 1 3 2 1 2 0 1 2 3 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 3 4 3 2 1 4 3 4 1 2 3 4 1 4 3 2 3 4 RΓ  P RΓ1 P 1 2               1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2 P              1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 P 一个对称操作（算符）在同一个函数空间（x,y的二次齐次函数）的 作用效果，只是基函数的选取是不同的。可见，等价表示本质上是 “相同”的表示。 群表示和不可约表示

群表示和不可约表示 1.群表示 矩阵的迹（对角元之和）： rA=∑4 相似变换不改变矩阵的迹（对角元素之和） 等价表示的相应矩阵的迹相同。即： 若： A'=P-AP, B'=P-BP. 则： TrA=TrA',TrB=TrB. 证明： Tr(ABC)=Tr(BCA) Σc=∑ΣΣa5a -∑∑∑b,a 故有：Tr(A)=TrP-AP)=P-PA)=Tr(A) =∑BCA)n

1. 群表示 7   i 矩阵的迹（对角元之和）： Tr A Aii 相似变换不改变矩阵的迹（对角元素之和） 等价表示的相应矩阵的迹相同。即： 若： 则： Tr A  Tr A' , Tr B  Tr B' , . A P AP, B' P B P, . 1 1    TrABC  TrBCA                           j jj j i k jk ki ij i j k ij jk ki i ii b c a a b c BCA 证明： ABC 故有： A  P AP P P A A 1 1 Tr  Tr  Tr  Tr   ' 群表示和不可约表示

群表示和不可约表示 1.群表示 3)、特征标 群表示理论中，矩阵的迹称特征标： x(R)=TrR 两个表示等价的充要条件是特征标相同。 {z(R={z.(=} 群的一个多维表示一定有无穷多个表示与之等价，且这些 表示相互等价

1. 群表示 8 3)、特征标 群表示理论中，矩阵的迹称特征标： 两个表示等价的充要条件是特征标相同。 (R ˆ )  Tr R  G (R ˆ ) R ˆ  .  G' (R ˆ ) R ˆ  . 群的一个多维表示一定有无穷多个表示与之等价，且这些 表示相互等价。 群表示和不可约表示

群表示和不可约表示 1.群表示 定理：同一共轭类的群元素，其特征标相同。 [证]设： A,B,∈G 且A与B共轭： A=氵1B求 群元素： A,B,1 相应的矩阵： A,B,X,X- 则由群表示的定义：A=X-BX 矩阵与操作有 相同的乘积关系 且： XX-=E 所以： (=x(B) (相似变换不改变矩阵的迹)

1. 群表示 9 定理：同一共轭类的群元素，其特征标相同。 [证] 设： 所以： A ˆ , B ˆ , X ˆ G A ˆ X ˆ B ˆ X ˆ 1  A X BX 1  ) ˆ ) ( ˆ (A   B （相似变换不改变矩阵的迹 ） 相应的矩阵 ： 1 A, B, X, X  XX E 1   且 A 与 B共轭： 则由群表示的定义： 且： 1 ˆ , ˆ , ˆ , ˆ  群元素： A B X X 群表示和不可约表示 矩阵与操作有 相同的乘积关系

群表示和不可约表示 2.可约与不可约表示 1)、矩阵的直和 1 V3 I 0 例： 3 3 2 2 0 可分解为两个子方阵： C= 021-3 C$=) 2 矩阵的直和：C3=C?⊕C >10

2. 可约与不可约表示 10 例： 矩阵的直和 ：                       0 0 1 0 2 1 2 3 0 2 3 2 1 C3                 2 1 2 3 2 3 2 1 a C3  1 b C3 b 3 a C3  C3 C 可分解为两个子方阵： 1)、矩阵的直和 群表示和不可约表示