由于-=G,=受的态间才有相互作用，所-到<小(-是小量 表示女（或K)很接近m严的情况.对-型展开(5223》式到级符 + (5.2-25) 4 其中 =+=P+[g+a-r+70+a (5.2-26) E8=F+T.1-△)2 这里工表示及=土受的自由电了老的电子动准： (5.2-27) 2m 将(52-26)代入(52-25)得 ++爵0 E.= (5.2-28) 讨论 ①△=0的情况 此时，E±=F+Tn±Ψ，(52-29) 原来能量都等于7+T,的两个状态，k=匹和'=-m严，由于它们的相互作用很强，变 a a 成两个能量不同的状态E,和E,其间的能量差称为“禁带宽度 E。=2W (5.2-30) 注意，禁带发生在被矢k=四和收=-m严处，即k=士四(123)处，禁带宽度 a a a 等于周期性势能的展开式中，波矢为G。=m2红的付里叶分最，的绝对值的两倍，如图54。 a ②△≠0的情祝(E-E<P) 由(5.2-28)式可以看出： (a)在禁带上方的一个能带底部（带底）能量E,随相对波矢△的变化是向上弯曲的抛物
11 由于 a m k k Gm 的态间才有相互作用，所以 Ek Ek Vm 0 0 （即 0 0 Ek Ek 是小量） 表示ｋ（或k）很接近 a m 的情况．对 m k k V (E E ) 0 0 展开（5.2-23）式到一级得 m k k k k m V E E E E E V 4 2 2 1 2 0 0 0 0 （5.2-25） 其中 0 2 2 2 2 2 0 (1 ) 1 (1 ) 2 2 k m k m E V T V T a m m V m k E V (5.2-26) 这里Tm 表示 a m k 的自由电子态的电子动能： 2 2 2 2 ( ) 2 2 a m m m k Tm （5.2-27） 将（5.2-26）代入（5.2-25）得 1) 2 ( 1) 2 ( 2 2 m m m m m m m m m m V T V T V T V T V T V T E （5.2-28） 讨论： ① 0 的情况 此时， E V Tm Vm , （5.2-29） 原来能量都等于V Tm 的两个状态， a m k 和 a m k ，由于它们的相互作用很强，变 成两个能量不同的状态 E 和 E ，其间的能量差称为“禁带宽度” Eg 2Vm （5.2-30） 注意，禁带发生在波矢 a m k 和 a m k 处，即 a m k （m=1,2,3.）处，禁带宽度 等于周期性势能的展开式中，波矢为 a m Gm 2 的付里叶分量Vm 的绝对值的两倍．如图5.4。 ② 0的情况（ Ek Ek Vm 0 0 ） 由（5.2-28）式可以看出： (a)在禁带上方的一个能带底部（带底）能量 E 随相对波矢 的变化是向上弯曲的抛物
线.[△是相对k=士m严的偏离，见(5218)和(52,19)两式] ()在禁带之下的一个能带项部，能量E随△的变化是向下弯曲的抛物线，如图54所示。 ③结论 由本章至此的讨论我们可以得出如下的结论： (1)周期性势场中运动的单电子的波函数具有布洛赫波函数的特点[(5.2-16)式]，即 2m k2-k-21 a =e中×周期函数【e学。e兰m] =∑C(k+Gn)e+6.r=∑Ck+Gn)et+6.H (52-31) G-2 Ck+0)= 这里， C(K+G)= V (5.2-32) 2k-2 (5231)表明，周期势场中单电子的波函数由那些具有相差倒格矢的自由电子态~e+6.法 加组成，而不是由品格允许的全部波矢集合}的平面波组成。也就是说，如果知道某 一个特定的近自由电子态Φ，包含某个确定的k,那么在①：的展开式中其余波矢具有 k+G的形式.这表明近自由电子的状态Φ，仅与那些波矢相差倒格矢的自 由电子态00，m=0}有关。换句话说，在自由电子态金集 0。,k=爬。2产中，只有事些相装创格矢的状态间存在相互作用（见西 V. k-k'=2m 5.2),这是因为H= a 0 ，k-k"女2mm a (2)能隙出现在=士m处，这是由于此时前进波：与其反射波甲干涉而形成两个驻 a 波，如
12 线．［ 是相对 a m k 的偏离，见（5.2-18）和（5.2-19）两式］ (b)在禁带之下的一个能带顶部，能量 E 随 的变化是向下弯曲的抛物线，如图 5.4 所示。 ③结论 由本章至此的讨论我们可以得出如下的结论： (1)周期性势场中运动的单电子的波函数具有布洛赫波函数的特点［(5.2-16)式］，即 x a m i m ikx m k e a m k k m V e L 2 2 2 2 ' ) ] 2 [ ( 2 1 1 ikx e 周期函数 ［ ( ) 2 2 x na a m x i a m i e e ］ i k G x m m i k G x m m m C k G e C k G e ( ) ( ) ( ) ( ) (5.2-31) 这里， ) ] 2 [ ( 2 ( ) 1 , ( 0) 2 2 2 2 a m k k m V C K G L C k a m G m m m （5.2-32） (5.2-31)表明，周期势场中单电子的波函数由那些具有相差倒格矢的自由电子态 i k G x m e ( ) ~ 迭 加组成，而不是由晶格允许的全部波矢集合 } 2 { L m 的平面波组成．也就是说，如果知道某 一个特定的近自由电子态 k 包含某个确定的 k，那么在 k 的展开式中其余波矢具有 Gm k 的形式．这表明近自由电子的状态k 仅与那些波矢相差倒格矢的自 由 电 子 态 ,m 0,1, Gm k 有 关 ． 换 句 话 说 ， 在 自 由 电 子 态 全 集 L m Na m k k Gm 2 2 , 中，只有那些相差倒格矢的状态间存在相互作用（见图 5.2），这是因为 a m k k a m V k k H m kk 2 0, 2 , (2)能隙出现在 a m k 处，这是由于此时前进波k 与其反射波kk 干涉而形成两个驻 波，如