(2)计算H 按原胞划分积分区域，(52-9)可写成 a="1o杰-2Co"rx达 -(ade ay(s 作代换x=5+na, 则h=2eeG+oG+a四） 高艺erGw -e62e] -rg2e时] 回当k-=m2石时，（m为整数) 川2 (5.2-13) 脂k-k≠m2红 可 N 1-e-ix [见(52-5)式] 所以1-eo=1-e-毫=1-1=0
6 （2） 计算 Hkk 按原胞划分积分区域，（5.2-9）可写成 L N n n a na k k k k k k H V dx V x dx 0 1 0 ( 1) (0)* (0) (0)* (0) ( ) 1 0 ( 1) ( ) ( ) 1 N n n a na i k k x e V x dx L 1 0 ( 1) ( ) ( ) 1 N n n a na i k k x e V x dx Na 作代换 x na ， 则， ( ) ( ) 1 1 0 0 ( )( ) e V na d na Na H N n a i k k na k k e e V d Na a i k k N n i k k na ( ) 1 0 ( ) 1 0 ( ) 1 0 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 N n i k k na a i k k e N e V d a 1 0 ( ) 0 ( ) ( ) 1 ( ) 1 N n i k k a n a i k k e N e V d a (a) 当 a k k m 2 时，（m 为整数） 1 1 (5.2 13) 1 1 1 0 1 0 ( ) N n n n N n i k k a N e N (b)当 a k k m 2 时 i k k a N n i k k Na n i k k a e e N e N ( ) 1 ( ) 0 ( ) 1 1 1 1 [ 公 式 ： 若 1 0 N n n f t ， 则 ， t t f tf t f N N 1 1 1 ] 又 l Na l k Na k 2 , 2 [见（5.2-5）式] 所以 1 1 1 1 0, 2 ( ) ( ) Na Na i l l i k k Na e e
故知，当友-K≠m2红时， a Ha=0. (5.2-14) u. (k-k'=m2 (52-15) -m 须特别注意，H4正好是周期性势场Vx)的第m个傅立叶变换系数V。 3、微扰修正后的波函数和本征能量 一级微扰修正的波函数： H =+明=9+2aP明 1 1e2 2m1 a +2-2 1 (52-16)二极 2m a 微扰修正的能量为： E(k)=E)+E2 -二 2m (6.2-17) a ∑'表示对m≠0的所有整数求和。 注意：这里的k是自由电子的波矢！而不是简约波矢！ 4、分 (1) 由于因子e号：在x改变晶格常数时不变，散知，(5216)式中括号内为 周期函数。这表明一级修正的波函数中(x)[(52-16)式]具有类似于布洛 赫函数的形式：自由粒子的波函数乘上具有品格周期性的函数。 (2) 级微扰修正的能量E在k=处发散。显然，这结果没有意义。换句 a 话说，上述计算结果在k=严处没有意义，不适于描述晶格周期场中电子 a 7
7 故知，当 a k k m 2 时， 0. (5.2 14) Hkk 所以， (5.2 15) ) 2 0 ( ) 2 ( ) ( 1 0 2 a k k m a e V d V k k m a H m a a im k k 须特别注意， Hkk 正好是周期性势场 V(x)的第 m 个傅立叶变换系数Vm 。 3、微扰修正后的波函数和本征能量 一级微扰修正的波函数： k k k k kk k k k k E E H (0) (0) (0) (0) (1) (0) ' = x a m i k m ikx m e L a m k k m V e L ) 2 ( 2 2 2 1 ) 2 ( 2 ' 1 (5.2 16) ) 2 ( 2 1 ' 1 2 2 2 2 m x a m i ikx m e a m k k m V e L 二 极 微扰修正的能量为： (5.2 17) ) 2 ( 2 ' 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 (0) (2) m m k k a m k k m V V m k E k E E 表示对m 0的所有整数求和。 注意：这里的 k 是自由电子的波矢！而不是简约波矢！ 4、分析 （1） 由于因子 x a m i e 2 在 x 改变晶格常数 a 时不变，故知，（5.2-16）式中括号内为 一周期函数。这表明一级修正的波函数 (x) k [（5.2-16）式]具有类似于布洛 赫函数的形式：自由粒子的波函数乘上具有晶格周期性的函数。 （2） 二级微扰修正的能量 (2) Ek 在 a m k 处发散。显然，这结果没有意义。换句 话说，上述计算结果在 a m k 处没有意义，不适于描述晶格周期场中电子
的状态。出现这种情况的原因是，当k=严时，存在另一状态《。-m 有矩阵元H以=儿≠0，且这两个状春的能量相等，即态k=四和态 a 《=-m严是能量简并的。行波k=m严与其（布拉格）反射波二m严的达 加形成驻波。后面将对此给予详细阐述]由量子力学知，对于能量简并问题， 需用简并微扰来求解（上述计算利用了非简并微扰理论） G》当k运典时 比如k=云此时 -=会-会=爱-爱=器 由于'为小量（微扰最都是小量，这是微扰论所要求的），故(52-16)式括号中第二级 的贡献很小，波函数主要是自由粒子的平面波成分。相应地，电子的能量的主要部分也是 自由子能量据式经，甲5》表标的是用期品务中电于的位失有·一优效 矢K(即远离a:0,士L,±2)”时的电子（本征）能量： 习题：证明周期晶场中，近自由电子的波函数具有形式 W:-∑C(GJe Gn 其中C(C)是与C有关的系数，为倒格矢 -2020,-0,1，±2. L Na 由此可得出什么结论？（调周品场中波矢为的电子结对应的学领近似电子春9，立一 只与相差倒格矢G。的那些零级近似电子态发生作用。即不同能带中的电子态才有作用。同 能带中的电子态无作用。或者说，只有波矢相差-G的电子态才有作用)
8 的状态。出现这种情况的原因是，当 a m k 时，存在另一状态 a m k ， 有矩阵元 0 Hk k Vm ，且这两个状态的能量相等。即态 a m k 和态 a m k 是能量简并的。[行波 k= a m 与其（布拉格）反射波 k / =- a m 的迭 加形成驻波。后面将对此给予详细阐述.]由量子力学知，对于能量简并问题， 需用简并微扰来求解（上述计算利用了非简并微扰理论）。 （3） 当 k 远离 a m 时 比如 a k 2 ，此时 2 2 2 2 2 2 2 2 4 8 ) 2 3 ) ( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 2 ( a a a a a a a k k ]， 由于Vm 为小量（微扰量都是小量，这是微扰论所要求的），故（5.2-16）式括号中第二级 的贡献很小，波函数主要是自由粒子的平面波成分。相应地，电子的能量的主要部分也是 自由粒子的能量形式 m k 2 2 2 。即（5.17）表示的 E(k)是周期晶场中电子的波矢为“一般波 矢 K（即远离 a n ；n=0, 1, 2）”时的电子（本征）能量！ 习题：证明周期晶场中，近自由电子的波函数具有形式 k = Gn C(Gn)ei(k+Gn)x 其中 C(Gn)是与 Gn有关的系数，Gn为倒格矢 Gn= L 2n = Na 2n ，n=0, 1, 2. 由此题可得出什么结论？（周期晶场中波矢为k的电子态对应的零级近似电子态k = L 1 e ikx , 只与相差倒格矢 Gn 的那些零级近似电子态发生作用。即不同能带中的电子态才有作用。同 一能带中的电子态无作用。或者说，只有波矢相差 k-k / = Gn的电子态才有作用）
$5.3简并徽扰，能级排斥（劈裂），能隙和能带 简并微扰 由上节知，当k=m时，存在另一态《=-mm(可认为态是态中的布 a 拉格反射波)，其能量相等（简并），故必须用简并理论来处理。 设△是一小量（△<1，对于接近k=严的态，如k=m严1+A) (5.2-18) a 与之能量相近，且有作用的态是《=太-2m a 仁k-K=2m严时，两态才有作用 a 所以，k==0+A)-2m=-m1-A)52-19 a 脚：k=I+Ak=-吾l-A】 注：由上节知，电子态之间的相互作用主要来自能量相等（相近）的k态和K态(k与 a)。所以，作为一种适当的近似，我们忽略其它态的影响。 按简并微扰论，我们把能量为E:(为方便记为E)的电子态写成Φ和中”的线性迭 Φ=a0+bΦ9 (5.2-20) 由波动方程： )-)o 并考虑到： 2d2 2m在+F= [心=o 得a(Eg-E+△V)Φ+b(Eg-E+△VΦ=0 上式分别乘以Φ和Φ9并积分，并利用(5.215)式可得 [(E8-E)a+Vb=0 (5.2-21) Va+(ER-E)b=0 其中用到： 令<k|△VIk>=<k1W-万1k>=<k'1△V|k'>=0
9 §5.3 简并微扰，能级排斥（劈裂），能隙和能带 一、 简并微扰 由上节知，当 a m k 时，存在另一态 a m k （可认为态 (0) k 是态 (0) k 的布 拉格反射波），其能量相等（简并），故必须用简并理论来处理。 设 是一小量（ 1），对于接近 a m k 的态，如 (1 ) (5.2 18) a m k 与之能量相近，且有作用的态是 a m k k 2 ) 2 ( 时，两态才有作用 a m k k 所以， (1 ) (5.2 19) 2 (1 ) a m a m a m k [如： (1 ), (1 ) a k a k ] 注：由上节知，电子态之间的相互作用主要来自能量相等（相近）的k 态和k 态（ k 与 k 满足 a m k k 2 ）。所以，作为一种适当的近似，我们忽略其它态的影响。 按简并微扰论，我们把能量为 Ek （为方便记为 E）的电子态写成 (0) k 和 (0) k 的线性迭 加： (5.2 20) 0) (0) ak bk （ 由波动方程： ( ) ( ) 0 2 2 2 2 V x E x dx d m 并考虑到： 0 0 0 2 2 2 2 V k Ek k dx d m 0 0 0 2 2 2 2 V k Ek k dx d m 得 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 a Ek E V k b Ek E V k 上式分别乘以 * (0) k 和 * (0) k 并积分，并利用（5.2-15）式可得 (5.2 21) ( ) 0 ( ) 0 0 0 * V a E E b E E a V b m k k m 其中用到: k | V | k k | (V V) | k k | V | k 0
和(5.2-15)式： 令<k'IAVI=<k△Ik>=<kW-万1k=<kIVIk>=Hw=V 这里，-=学0+a-1-4=2 a a,[见(52-18)和(52-19)式] Vn是周期场V,的傅立叶展开式中第m个参数（见5.10-11两式） (5.21)式有解的条件是 (E°-E)Vm =0 (52-22) (E°-E) 解之得 E=(,°+E)±(-2+4Ψ1}(52.23) 下面分两种情况讨论： 四|E-骏|>P的情祝 里结有4后奇誓.指52波小性名-的，民所取感近做 E+ E:= - (52-24) 由于E>E R- (为什么？)，所以k'与k两态的相互作用使得高能态k变得能 叹受+ 量更高 平 态从的能量变得更低。（注：这是量子力学的普遍 照增 品=成 结果，称之为“能级间的排斥作用”)如图5.3所示。 值得注意的是(5.2-24)与上节用一般微扰法计算得到的结果 具时 (52)式相似不同在于624试只包合大=0+△)和 自由电子 周期场电子 K=-m（1-△)两态的作用，此两态具有最强的互相作 图5.3 用这是因为政-一-門经小面其它与态有 作用的态，例如从=-严1-△)-2红，（相差倒格矢的k和态才有相互作用，其能差 a a 要大得多，故对(5217)式的贡献要小的多. (2)|E-E<P|
10 和(5.2-15)式： Hkk Vm k | V | k k | V | k k | (V V) | k k |V | k 这里， a m a m a m k k 2 [ (1 )] [ (1 )] , [见(5.2-18)和(5.2-19)式]. Vm 是周期场 V( x)的傅立叶展开式中第 m 个参数(见 5.10-11 两式) (5.21)式有解的条件是 0 ( ) ( ) 0 0 * V E E E E V m k k m （5.2-22） 解之得 {( ) [( ) 4 ] } 2 1 2 1 0 0 0 0 2 2 E Ek Ek Ek Ek Vm （5.2-23） 下面分两种情况讨论： (1) Ek Ek Vm 0 0 的情况 此时显然有 k 远离 a m ．将(5.2-23)按小量 ( ) 0 0 k k m E E V 展开，取一级近似得 (5.2 24) 0 0 2 0 0 0 2 0 k k m k k k m k E E V E E E V E E 由于 0 0 Ek Ek （为什么？），所以k与ｋ两态的相互作用使得高能态ｋ变得能 量更高，低能态k的能量变得更低．（注：这是量子力学的普遍 结果，称之为“能级间的排斥作用”）如图 5.3 所示。 值得注意的是(5.2-24)与上节用一般微扰法计算得到的结果 （5.2-17）式相似．不同在于(5.2-24)式只包含 (1 ) a m k 和 (1 ) a m k 两态的作用，此两态具有最强的互相作 用．这是因为 ( ) 2 2 2 2 0 k k m Ek Ek 最小，而其它与ｋ态有 作用的态，例如 a a m k 2 (1 ) ，（相差倒格矢的ｋ和k态才有相互作用），其能差 要大得多，故对（5.2-17）式的贡献要小的多． （2） Ek Ek Vm 0 0