《固体物理学》课程授课教案（讲义）晶体能带结构理解电导特性.doc

§6-3晶体能带结构理解电导特性教学内容晶体能带结构理论及导电机理理解教学目的与要求 1.掌握晶体导电机理的能带解释 2.理解近满带晶体导电机理的空穴概念学时分配教学重点空穴模型教学难点晶体导电机理的解释设计思路：以当前科研热点石墨烯作为填充剂，提高电池导电性能为出发点，引导学生思考从固体能带理论出发理解固体物质的导电机理，培养学生发现问题的能力。通过金属和半导体、绝缘体导电机理的分析，培养学生分析问题和解决问题的能力。最后，仍然以石墨烯为例，要求学生调研，撰写报告，分组讨论，培养学生调研文献和科技论文写作能力以及学生对科研的钻研精神。 6.3.1导体、半导体和绝缘体的能带解释（案例引入）启发提问：为什么石墨烯成为当前学术界研究的宠儿，它都分别具有什么样的性质？其优异的导电性能对于复合材料的研究有些什么样的应用前景？分组讨论：引入导体、半导体、绝缘体的概念，并就能带理论基础、能带有无交叠情形分成两个小组就石墨烯二维导体进行讨论。教师总结：能带理论能够成功解释导体、半导体、绝缘体的概念，但在处理二维导体石墨烯时，需考虑相对论效应。那么如何用物理的语言描述导体导电这一物理现象？ 6.3.2导体、半导体和绝缘体的能带解释（精讲）根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态k在k空间量子态的密度为8xP,∥为晶体体积。每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为N。N为原胞数。考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充2个电子。简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。不满壳层中的电子数为偶数的，也正好填满几个能带，为奇数的则必定有一个能带为半满。复式晶格可以根据单胞数N 和每个单胞中的原子和每个原子的电子数讨论电子填充能带的情况。满带电子不导电由于布洛赫电子的能量在k空间具有反演对称性，即 E(k)=E(-k) (6.3.1) 因此布洛赫电子在：空间是对称分布的。在同一能带中k和-：态具有相反的速度：

2 §6-3 晶体能带结构理解电导特性教学内容晶体能带结构理论及导电机理理解教学目的与要求 1．掌握晶体导电机理的能带解释 2．理解近满带晶体导电机理的空穴概念学时分配 4 学时教学重点空穴模型教学难点晶体导电机理的解释设计思路：以当前科研热点石墨烯作为填充剂，提高电池导电性能为出发点，引导学生思考从固体能带理论出发理解固体物质的导电机理，培养学生发现问题的能力。通过金属和半导体、绝缘体导电机理的分析，培养学生分析问题和解决问题的能力。最后，仍然以石墨烯为例，要求学生调研，撰写报告，分组讨论，培养学生调研文献和科技论文写作能力以及学生对科研的钻研精神。 6.3.1 导体、半导体和绝缘体的能带解释（案例引入）启发提问：为什么石墨烯成为当前学术界研究的宠儿，它都分别具有什么样的性质？其优异的导电性能对于复合材料的研究有些什么样的应用前景？分组讨论：引入导体、半导体、绝缘体的概念，并就能带理论基础、能带有无交叠情形分成两个小组就石墨烯二维导体进行讨论。教师总结：能带理论能够成功解释导体、半导体、绝缘体的概念，但在处理二维导体石墨烯时，需考虑相对论效应。那么如何用物理的语言描述导体导电这一物理现象？ 6.3.2 导体、半导体和绝缘体的能带解释 (精讲) 根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态 k 在 k 空间量子态的密度为 8 /V 3  ，V 为晶体体积。每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为 N。N 为原胞数。考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充 2N 个电子。简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。不满壳层中的电子数为偶数的，也正好填满几个能带，为奇数的则必定有一个能带为半满。复式晶格可以根据单胞数 N 和每个单胞中的原子和每个原子的电子数讨论电子填充能带的情况。满带电子不导电由于布洛赫电子的能量在 k 空间具有反演对称性，即 (k) = (− k) En En (6.3.1) 因此布洛赫电子在 k 空间是对称分布的。在同一能带中 k 和-k 态具有相反的速度：

k)=-w(-k) (6.3.2) 在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流-g心，但是k和-k态电子贡献的电流正好相互抵销，所以总电流为零。即使有外加电场或磁场，也不改变k和一k态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在k空间作匀速运动，不断改变自己的量子态k,但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k和-k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。因此满带电子不导电。 6.3.3导体和非导体模型部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在k空间对称分布，k和k态电子贡献的电流始终正好相互抵销。但是在外场力作用下，由于声子、杂质和缺陷的散射，能带中布洛赫电子在k空间对称分布被破坏，逆电场方向有一小的偏移，电子电流将只能部分抵销，抵销不掉的量子态上的电子将产生一定的电流。根据布洛赫电子填充能带和在外场力作用下量子态的变化，提出了导体和非导体能带填充模型。在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带 (通常称为导带)中没有电子。由于满带不产生电流，尽管晶体中存在很多电子，无论有无外场力存在，晶体中都没有电流。在导体中，部分填满能带（通常也称为导带）中的电子在外场中将产生电流。本征半导体和绝缘体的能带填充情况是相同的，只有满带和空带，它们之间的差别只是价带和导带之间的能带隙(band gap)宽度不同，本征半导体的能隙较小，绝缘体的能隙较大。本征半导体由于热激发，少数价带顶的电子可能激发到导带底，在价带顶造成空穴，同时在导带底出现传导电子，产生所谓本征导电。在金属和本征半导体之间还存在一种中间情况，导带底和价带顶发生交叠或具有相同的能量，有时称为具有负能隙宽度或零能隙宽度。在此情况下，通常在价带顶有一定数量的空穴，同时在导带底有一定数量的电子，但是其导电电子密度比普通金属小几个数量级，导电性很差，通常称为半金属。V族元素Bi、Sb、As都是半金属。它们具有三角晶格结构，每个原胞中含有两个原子，因此含有偶数个价电子，似乎应该是绝缘体。但是由于能带之间的交叠使它们具有金属的导电性，由于能带交叠比较小，对导电有贡献的载流子浓度远小于普通金属，例如Bi约为3×10？cm。是普通金属的10。Bi的电阻率比普通金属高10到100倍。近满带和空穴假设满带中只有一个量子态k上缺少一个电子，设)表示近满带的总电流，假如放上一个电子使能带变成满带，这个电子贡献的电流为 -qv(k) (6.3.3)

3 (k) = −(− k) (6.3.2) 在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流−q ，但是 k 和-k 态电子贡献的电流正好相互抵销，所以总电流为零。即使有外加电场或磁场，也不改变 k 和-k 态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在 k 空间作匀速运动，不断改变自己的量子态 k，但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k 和-k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。因此满带电子不导电。 6.3.3 导体和非导体模型部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在 k 空间对称分布，k 和-k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。但是在外场力作用下，由于声子、杂质和缺陷的散射，能带中布洛赫电子在 k 空间对称分布被破坏，逆电场方向有一小的偏移，电子电流将只能部分抵销，抵销不掉的量子态上的电子将产生一定的电流。根据布洛赫电子填充能带和在外场力作用下量子态的变化，提出了导体和非导体能带填充模型。在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带（通常称为导带）中没有电子。由于满带不产生电流，尽管晶体中存在很多电子，无论有无外场力存在，晶体中都没有电流。在导体中，部分填满能带（通常也称为导带）中的电子在外场中将产生电流。本征半导体和绝缘体的能带填充情况是相同的，只有满带和空带，它们之间的差别只是价带和导带之间的能带隙（band gap）宽度不同，本征半导体的能隙较小，绝缘体的能隙较大。本征半导体由于热激发，少数价带顶的电子可能激发到导带底，在价带顶造成空穴，同时在导带底出现传导电子，产生所谓本征导电。在金属和本征半导体之间还存在一种中间情况，导带底和价带顶发生交叠或具有相同的能量，有时称为具有负能隙宽度或零能隙宽度。在此情况下，通常在价带顶有一定数量的空穴，同时在导带底有一定数量的电子，但是其导电电子密度比普通金属小几个数量级，导电性很差，通常称为半金属。V 族元素 Bi、Sb、As 都是半金属。它们具有三角晶格结构，每个原胞中含有两个原子，因此含有偶数个价电子，似乎应该是绝缘体。但是由于能带之间的交叠使它们具有金属的导电性，由于能带交叠比较小，对导电有贡献的载流子浓度远小于普通金属，例如 Bi 约为 3  1017 cm 。是普通金属的 10 。Bi 的电阻率比普通金属高 10 到 100 倍。近满带和空穴假设满带中只有一个量子态 k 上缺少一个电子，设 I(k) 表示近满带的总电流，假如放上一个电子使能带变成满带，这个电子贡献的电流为 − q(k) (6.3.3)

图6.3.10计算得的铜的能带，下图为自由电子能带外层有10个3电子和一个4s电子，这11个电子至少形成6个能带，其中有6个能带相对较窄，位于费米能级下2-6V处，通常称为d带，第六个能带较宽，能量范围在费米能级以上7eV到以下9eV,通常称为s带。由于周期势场的影响，贵金属费米面在第一布里渊区8个六边形边界面处，伸出8个脖子，与边界面正交，相邻的四个费米球连结可以形成所谓“狗骨形”(dog'sbone)轨道，这是类空穴轨道。二价金属：二价金属在元素周期表中是紧靠在碱金属和贵金属右边的。它们受填满带的影响较小。能带计算表明，对于Zn和Cd,d带完全位于导带底以下。对于水银，d带和导带的交叠仅仅在导带底非常窄的区域。IIA族的Be和Mg为六角密积结构：Ca和Sr是面心立方结构：Ba是体心立方结构。IB族的Zn和Cd为六角密积结构。对于立方晶格的Ca、Sr 和Ba因为每个原胞内有两个电子，原则上似乎应该是绝缘体。在自由电子模型中，费米球和第一布里渊区有相同的体积，并且和布里渊区边界面相交。这样自由电子费米面在第一布里渊区内有相对复杂的结构，有少部分电子在第二布里渊区。按照近自由电子模型，问题是有效晶格势即膺势是否足够强到将第二布里渊区中的电子全部收缩到第一布里渊区内，填满所有在自由电子模型中未被填充的能级。实际上所有ⅡA二价元素都是导电的碱土金属。具有三角布拉伐格子的水银要求研究k空间讨厌的不熟悉的几何结构。但是实验表明，在第二布里渊区有少量电子。对于六角密积结构的二价金属，每个原胞有两个原子，4个价电子。实验数据表明它们的费米面或多或少地可以辨认出非常复杂结构的畸变，这个复杂结构是根据每个六角布拉伐格子中有4个电子按照自由电子模型画出的，这个结构被布喇格面切成碎片。所有六角密积结构金属的复杂特征起因于第一布里渊区六边形面上结构因子不考虑自旋

5 图 6.3.10 计算得的铜的能带，下图为自由电子能带外层有 10 个 3d 电子和一个 4s 电子，这 11 个电子至少形成 6 个能带，其中有 6 个能带相对较窄，位于费米能级下 2-6 eV 处，通常称为 d 带，第六个能带较宽，能量范围在费米能级以上 7 eV 到以下 9 eV，通常称为 s 带。由于周期势场的影响，贵金属费米面在第一布里渊区 8 个六边形边界面处，伸出 8 个脖子，与边界面正交，相邻的四个费米球连结可以形成所谓“狗骨形”（dog’s bone）轨道，这是类空穴轨道。二价金属：二价金属在元素周期表中是紧靠在碱金属和贵金属右边的。它们受填满 d 带的影响较小。能带计算表明，对于 Zn 和 Cd，d 带完全位于导带底以下。对于水银，d 带和导带的交叠仅仅在导带底非常窄的区域。IIA 族的 Be 和 Mg 为六角密积结构；Ca 和 Sr 是面心立方结构；Ba 是体心立方结构。IIB 族的 Zn 和 Cd 为六角密积结构。对于立方晶格的 Ca、Sr 和 Ba 因为每个原胞内有两个电子，原则上似乎应该是绝缘体。在自由电子模型中，费米球和第一布里渊区有相同的体积，并且和布里渊区边界面相交。这样自由电子费米面在第一布里渊区内有相对复杂的结构，有少部分电子在第二布里渊区。按照近自由电子模型，问题是有效晶格势即膺势是否足够强到将第二布里渊区中的电子全部收缩到第一布里渊区内，填满所有在自由电子模型中未被填充的能级。实际上所有 IIA 二价元素都是导电的碱土金属。具有三角布拉伐格子的水银要求研究 k 空间讨厌的不熟悉的几何结构。但是实验表明，在第二布里渊区有少量电子。对于六角密积结构的二价金属，每个原胞有两个原子，4 个价电子。实验数据表明它们的费米面或多或少地可以辨认出非常复杂结构的畸变，这个复杂结构是根据每个六角布拉伐格子中有 4 个电子按照自由电子模型画出的，这个结构被布喇格面切成碎片。所有六角密积结构金属的复杂特征起因于第一布里渊区六边形面上结构因子不考虑自旋