《固体物理学》课程授课教案（讲义）第四章 晶格振动

第四章晶格振动 S4.1简谐振动和简正坐标 一、简谐近似 一般地，晶格的势能可写为格点位置坐标的函数， V=VRn+u,0}(3.1- 其中， Rn=n,+n,a2+n,=na,(3.1-2) 是第n个格点的平衡位置，u{是1时刻第n个格点相对R的偏离。 y可以展为泰物级数（在平衡位置R处展开）： (\=0(平衡位置) u.) 并令'(R)=0为零势点参考点，当略去2阶以上高阶项时， 2 (3.1-) 此式即为简谐近似下品格的势能表达式。换句话说，仅保留品格势能函数的展开式的2阶项 的近似称为简谐近似。 品格的动能为各格点的动能之和， T芝m或61-2》 2、简正坐标 为简化晶格的动能和势能的表达式（消去交叉项），由分析力学知可引入简正坐标Q。 即作如下正交变换， i,(=Vm,4)=a2,(31-3) 1

1 第四章 晶格振动 §4.1 简谐振动和简正坐标 一、简谐近似 一般地，晶格的势能可写为格点位置坐标的函数， V VR u (t) (3.1 ~ 1)  n  n 其中，     (3.1 2) n i i R n a n a n a n a 1 1 2 2 3 3 是第 n 个格点的平衡位置，un{t}是 t 时刻第 n 个格点相对 Rn 的偏离。 V 可以展为泰勒级数（在平衡位置 Rn 处展开）：                                           N i N j i j i j N i i i n N n m n m n m N n n n u u u u V u u V V V V V V 3 1 3 1 0 3 2 1 0 0 1 , 0 2 1 ( ) : 2 1 ( ) R R u u u 0 0            ui V  （平衡位置） 并令 ( ) 0 V0 Rn  为零势点参考点，当略去 2 阶以上高阶项时， (3.1 1) 2 1 3 1 3 1 0 2                N i N j i j i j u u u u V V 此式即为简谐近似下晶格的势能表达式。换句话说，仅保留晶格势能函数的展开式的 2 阶项 的近似称为简谐近似。 晶格的动能为各格点的动能之和， (3.1 2) 2 1 3 2    N i T miui  2、简正坐标 为简化晶格的动能和势能的表达式（消去交叉项），由分析力学知可引入简正坐标 Qj。 即作如下正交变换， ( ) (3.1 3) ~ui  miui  aijQj 

注：利用了爱因思坦求和规则，即两个相同指标表示求和。 (3.1一3)式的逆变换是， Q,=a(3.1-4) 变换系数a,满足正交条件 (1 j=k da=a-0 (3.2-5) 利用31-3)式，(31-)和31-2)试可化为如下正定形式， r-2g6i-0 -2 (3.1-7) 3、体系的哈密顿量 由分析力学知，多粒子体系的拉格朗日函数， L=T-V, 正测动量月=影=0 (3.1-8) 哈密顿量 H=T+r-2g+0)-24,6I-) 说明在简谐近似下，利用简正坐标，晶格的振动化为3N个独立的谐振子。 4、振动模 2,-0m 应用正则方程{ (3.1-10) g 31-8C== aH 80, 可得Q+og=0(3.1-11) (l,2,3,3N

2 注：利用了爱因思坦求和规则，即两个相同指标表示求和。 (3.1－3)式的逆变换是， (3.1 4) ~ Qj  aijui  变换系数 aij满足正交条件， * 1 (3.2 5) 0 ij ik jk j k a a j k          利用(3.1－3)式，(3.1－1) 和(3.1－2)式可化为如下正定形式， (3.1 6) 2 1 3 1 2 2     N i V i Qi (3.1 7) 2 1 3 1 2     N  i T Qi 3、体系的哈密顿量 由分析力学知，多粒子体系的拉格朗日函数， L  T-V ， 正则动量   (3.1 8)    i i i Q Q L P    哈密顿量 ( ) (3.1 9) 2 1 3 1 3 1 2 2 2           N i i N i H T V Pi iQi H 说明在简谐近似下，利用简正坐标，晶格的振动化为 3N 个独立的谐振子。 4、振动模 应用正则方程 (3.110)                 i i i i Q H P P H Q 可得 0 (3.1 11) 2      Qi i Qi (i=1，2，3，., 3N) 由(3.1-8)，          , i i i Q H Q P

这是一个关于简正坐标Q,的独立的谐振方程，表明了简正坐标的意义，即简正坐标描述晶 格中独立的简谐振动，这种独立的振动共有3N个。这样在简正坐标下，具有3N个自由度 的晶格的振动被简化为3N个独立简谐振动（即3N个独立的弹簧）。 (3.1-11)式的解为2，=A,sin(o1+8)(3.1-12) 由和Q,的正交变换关系(3.1-3)知，当仅考虑一种简正振动2时， 1 m4@1+8)B1-13) 这里，1-1,2,3,3N· 所以， (1)一个简正振动并不代表一个格点的振动，而是代表所有格点的同频集体振动，称为 一个振动模式（简称一个振动模）。 (2)晶格中格点（原子）的真实振动是所有3N个简正振动（振动模）的叠加。 至此我们已看到： 所谓“简谐近似“即简化为谐振的近似： 所谓“简正坐标”即使系统的势能和动能都简化为正定形式的坐标。 5、振动模的能量和本征态 品格振动必须用量子力学来处理。 作特代P→防品 (3.1-9)式可化为量子力学形式 o+o0)-2u (3.1-8) (3.1-8)为3N个独立谐振子的哈密顿之和。对每一谐振子有薛定谔方程 +名+gmg=tQ)a1-司 其解为熟知的， 8=(+h@, (本征能量) 3

3 这是一个关于简正坐标 Qi 的独立的谐振方程，表明了简正坐标的意义，即简正坐标描述晶 格中独立的简谐振动，这种独立的振动共有 3N 个。这样在简正坐标下，具有 3N 个自由度 的晶格的振动被简化为 3N 个独立简谐振动〔即 3N 个独立的弹簧〕。 （3.1－11）式的解为 Q A sin(t  ) (3.112) i i i 由 ui和 Qi的正交变换关系（3.1-3）知，当仅考虑一种简正振动Qk 时， sin( ) (3.1 13) 1 1 1 1 3 1           a A t m a Q m a Q m a Q m u ik k k i ik k i N j ij j i ij j i i 这里，i=1，2，3，., 3N 。 所以， （1）一个简正振动并不代表一个格点的振动，而是代表所有格点的同频集体振动，称为 一个振动模式（简称一个振动模）。 （2）晶格中格点（原子）的真实振动是所有 3N 个简正振动（振动模）的叠加。 至此我们已看到： 所谓“简谐近似”即简化为谐振的近似； 所谓“简正坐标”即使系统的势能和动能都简化为正定形式的坐标。 5、振动模的能量和本征态 晶格振动必须用量子力学来处理。 作替代 i i Q P i      （3．1-9）式可化为量子力学形式， ( ) (3.1 8) 2 1 3 1 3 1 2 2 2 2 2            N i i N i i i i Q H Q H  （3．1-8）为 3N 个独立谐振子的哈密顿之和。对每一谐振子有薛定谔方程， ( ) ( ) ( ) (3.1 8) 2 1 2 2 2 2 2           i i i i i i Q Q Q Q  其解为熟知的， i i i   n  ) 2 1 ( （本征能量〕

,@-层eg-以，)（体 -贤e 系统的总能量和总本征态为 E-Z Ψ=im,g) 4

4 ) ( ) 2 ( ) exp( n i i i n i i i Q H        （本征态） i i i Q     系统的总能量和总本征态为    N i E i 3 1     N i n Qi i 3 1 ( )

4.2一维单原子链 一、振动方程及格波解 1、振动方程 设链上原子间的相互作用仅存在于 最近邻原子之间，并且近邻原子间的相产2一月2 互作用势能为 Vn(a+δn),则体系的总势能为， 10 900 u-2a+6) (3.2-1) —维单原子链 δ。为第n个原子相对于平衡位置的 偏离。 简谐近似下， u2器袋0 相邻原了间的作用力，了=一 第n个原子的受力为，f+f云 ∫&=-B(ua-m.） f=-B(u,-山+》 所以，第n个原子的牛顿运动方程为 mim=f+f右=(4*+4r1一2)(3.2-4) 这里，n=l,2,3,N。 即：对N原子链，共有N个这样的联立方程（齐次线性方程）。 2、格波解 可以验证(32一4)式具有下列形式的解， u,(q)=un=Aee-g）(3.2-5) 将(3.2-5)式代入(32-4)可得：

5 4.2 一维单原子链 一、振动方程及格波解 1、振动方程 设链上原子间的相互作用仅存在于 最近邻原子之间，并且近邻原子间的相 互作用势能为 vn a n (   )，则体系的总势能为， ( ) (3.2 1) 1      N n n a n U v  n 为第ｎ个原子相对于平衡位置的 偏离。 简谐近似下， (3.2 2) 2 1 2 1 1 2 0 2 2 1 2 0 2 2                        N i n n N i n n U v U       相邻原子间的作用力， (3.2 3) 2 2                n n n a n n U v f       其中， n a n v          2 2    为近邻原子间的弹性系数。 第 n 个原子的受力为，f=f 左+f 右 f 左＝－(un－un-1) f 右＝－(un－un+1) 所以，第 n 个原子的牛顿运动方程为 mun  f 左+f 右＝( un+1+ un-1－2 un) (3.2－4) 这里，n=1，2，3，.，N。 即：对 N 原子链，共有 N 个这样的联立方程（齐次线性方程）。 2、格波解 可以验证(3.2－4)式具有下列形式的解， ( ) (3.2 5) ( )    i tnaq un q unq Ae  将（3.2－5）式代入（3.2－4）可得：